平面简谐波的波函数

第十章波动物理学第五版1简谐波（harmonicwaves):波源的振动是简谐振动，介质中的质元都作简谐振动。平面简谐波（planeharmonicwaves）波面是平面的简谐波。波线波面平面简谐波等幅平面简谐波：介质不吸收波动的能量，介质中的质元都作振幅相等的简谐振动10-2平面简谐波的波函数第十章波动物理学第五版2一、（等幅）平面简谐波的波函数波函数:能够描述波动中所有质点运动状态的函数y=y(x,t)介质中所有质点均作同频率、同振动方向、同振幅的简谐振动。平面简谐波函数的一般形式应为：)(cosxtAy关键问题：确定位于x处的质点的振动初相(x)。OXxYP右行波:沿x轴正向传播左行波:沿x轴负向传播第十章波动物理学第五版3沿波的传播方向,各质元的振动相位依次落后。波动是振动相位的传播图中b点比a点的相位落后a点的振动传到b点需时间：在这段时间内a点的振动相位增加量（即旋转矢量又转过的角度）为：沿着波动传播的方向上相距L的两个质元间的振动相位差如何？xabLu传播方向第十章波动物理学第五版4设原点振动表达式为：沿波线上相距为一个波长的两点，振动的相位差为2。第十章波动物理学第五版5所以，p点的振动方程为：P点的振动初相位：P点与O点的相位差为：为坐标原点O点在t=0时刻的振动相位,设为已知.右行波这就是平面简谐波的波函数，或称为波动方程P点在t时刻的位移等于原点处质点在时刻的位移第十章波动物理学第五版6左行波的波函数：p点的相位超前于O点相位：所以p点的振动方程，也就是左行波的波函数为：第十章波动物理学第五版7波函数的几种常用形式第十章波动物理学第五版8演示实验安排周三第3节7班第4节8班第十章波动物理学第五版9二波函数的物理含义（波具有时间的周期性）),(),(TtxytxyxtAyπ2cosOyt1一定，变化xt表示点处质点的振动方程（的关系）ty—x第十章波动物理学第五版10波线上各点的简谐运动图第十章波动物理学第五版11yoxxtAyπ2cos2一定变化xt该方程表示时刻波传播方向上各质点的位移,即时刻的波形（的关系）ttxy—第十章波动物理学第五版12yxuOyxuOt时刻tt时刻x3.t与x都发生变化波在t时刻x处的相位经t时间后传到x+x处，传播的距离是ut,tux总之：当t,x都发生变化时，波函数就描述了波的传播过程。波函数就是普适性的振动方程.第十章波动物理学第五版13三、有关波函数的应用1、已知波函数—即均为已知.1)从波函数表达式中求:利用比较法:将所给的波函数化为标准形式,再与标准式比较,得到所求.第十章波动物理学第五版14例1已知某一简谐波的波函数为：求该波的波长、波速、周期、和坐标原点的振动初相解将原式变形为标准形式：立即可得：])(cos[),(0uxtAtxy第十章波动物理学第五版152）利用波函数研究质点的运动任意x处质点的运动方程为：该质点的速度和加速度分别为：该质点的振动初相位为：第十章波动物理学第五版182、建立平面简谐波的波函数已知质元的振动情况，确定波函数。难点是确定坐标原点的初相例3已知一沿X轴正向传播的平面简谐波的振幅A、周期T、波速u。t=0时，x=0处的质点位于-A/2处且向位移的负方向运动。试求该波的波函数。解确定坐标原点的振动初相0由：t=0时，x=0处的质点位于-A/2处且向位移的负方向运动，知第十章波动物理学第五版19例4.一平面简谐波，波长为12m，沿ox轴负向传播.图（a）所示为x=1.0m处质点的振动曲线，求波动方程。0.400.205.0t/sy/mo0.40.2t=0t=5t解：t=0时此质点的相位t=5s时质点第一次回到平衡位置所以x=1m处质点的运动方程为第十章波动物理学第五版20把u=1.0m/s，x=1.0m代入波动方程一般形式并与x=1.0m处的运动方程作比较，得波动方程为第十章波动物理学第五版21例5已知一沿X轴负向传播的平面简谐波在t=0时的波形曲线如图所示。试求该波的波函数解确定坐标原点的振动初相0由图知：t=0时，x=0处的质点位于A/2处且向位移正方向运动由图知：t=0时，x=1m处的质点位于平衡位置处且向位移负方向运动X(m)A-AA/2Yu=100m/s01第十章波动物理学第五版22100(m/s)2.4m,,3πu0/3(rad/s)250/20.024s/TuT)SI](π)(πcos[])(cos[),(310032500xtAuxtAtxy第十章波动物理学第五版23复习第十章波动物理学第五版2415-3波的能量和能流一、波的能量和能量密度波不仅是振动状态(相位)的传播，而且也是伴随着振动能量的传播。以棒中的纵波为例,有一平面简谐波：])(cos[uxtAy质量为在x处取一体积元,dSdxdVdSdxdVdm+振动动能形变势能=波的能量xxOxdxOyyyd第十章波动物理学第五版25质元的动能为：（可以证明）因为形变该质元的弹性势能为：体积元内媒质质点的总能量为：dWk=dWp质元的振动速度第十章波动物理学第五版26波动质元：)(sin21222pkuxtAVWW第十章波动物理学第五版27(1)固定x•物理意义dWk=dWp(2)固定toyxWkWpt=t0u(1/4)2A2yx=x0otTWkWp(1/4)2A2dWp均随t周期变化dWk、dWp均随x周期变化dWk、y=0、dWp最大dWky最大、dWp为0dWkdSdxuxtAdWdWpk])([sin21222能量极小能量极大第十章波动物理学第五版28说明：2）在波传动过程中,任意质元的能量不守恒.其与邻近的质元进行能量交换,表明了波的传播正是能量的传播.3)以上结论针对棒中的纵波得出,对其余的波虽能量的具体形式不同,但动能势能同相位的结论仍成立.1)任意时刻，质元动能与势能相等，即动能与势能同时达到最大或极小。即同相的随时间变化。这不同于孤立振动系统。dSdxuxtAdWdWpk])([sin21222第十章波动物理学第五版29PEkEtYyx=x0otTWkWp(1/4)2A2第十章波动物理学第五版30说明：2、能量密度与振幅平方频率平方和质量密度均成正比。2A2能量密度：介质中单位体积内的波动能量。])([sin222uxtAdSdxdWdVdWw平均能量密度：一个周期内能量密度的平均值。2221A22220202111AdtuxtATwdtTwTT])([sin1、能量密度随时间周期性变化，其周期为波动周期的一半。T第十章波动物理学第五版312米单位：瓦能流密度:(波的强度)通过垂直于波动传播方向单位面积的能流。uAuwSPI2221wuSP平均能流：在一个周期内能流的平均值。uSwP能流（flowofenergy):单位时间内垂直通过某一面积的能量称为波通过该截面的能流。P二.能流和能流密度dt时间内通过S的能量应等于体积Sudt中的能量声学中声波的强度称为声强。能流密度是矢量，其方向与波速方向相同。udtSu