导数公式、例题

基本初等函数的导数公式(x)=x-1.(ax)=axlna.(ex)=ex.'0(cc为任意常数).ln1)(logaxxa.1)(lnxx(sinx)=cosx.(cosx)=-sinx.(tanx)=sec2x.(cotx)=-csc2x.(secx)=secxtanx.(cscx)=-cscxcotx.导数公式,11)(arcsin2xx-反三角函数的导数公式：,11)(arccos2xx--,11)(arctan2xx.11)cotarc(2xx-定理2.1设函数u(x)、v(x)在x处可导，)0)(()()(xuxuxv在x处也可导，(u(x)v(x))=u(x)v(x);(u(x)v(x))=u(x)v(x)+u(x)v(x);.)]([)()()()()()(2xuxvxuxvxuxuxv-导数的四则运算且则它们的和、差、积与商推论1(cu(x))=cu(x)(c为常数).推论2.)()()(12xuxuxu-()''''uvwuvwuvwuvw乘法法则的推广：【例题】求下列函数的导数：解根据推论1可得(3x4)=3(x4)，(5cosx)=5(cosx)，(cosx)=-sinx，(ex)=ex，(1)=0，故f(x)=(3x4-ex+5cosx-1)=(3x4)-(ex)+(5cosx)-(1)=12x3-ex-5sinx.f(0)=(12x3-ex-5sinx)|x=0=-1又(x4)=4x3，例1设f(x)=3x4–ex+5cosx-1，求f(x)及f(0).例2设y=xlnx，求y.解根据乘法公式，有y=(xlnx)=x(lnx)(x)lnxxxxln11.ln1x解根据除法公式，有22222)1()1()1()1)(1(11----xxxxxxxy例3设,112-xxy求y.2222)1()1]()1()[(])1())[(1(---xxxxx.)1(12)1()1(2)1(222222---xxxxxxx例4求下列函数的导数：3(1)cosyxx-2(2)xyxe2(3)1xyx-32(4)23sinyxxxe解：332(1)'(cos)'()'(cos)'3sinyxxxxxx--2222(2)'()'()'()'2(2)xxxxxxyxexexexexexxe22222'(1)(1)'(3)'()'1(1)xxxxxyxx-----2221(2)(1)xxxx----222)1(1xx-32(4)'(2)'(3sin)'()'yxxxe0)'sin(3)'(23-xxx)cos(sin362xxxx-高阶导数如果可以对函数f(x)的导函数f(x)再求导，所得到的一个新函数，称为函数y=f(x)的二阶导数，.dd22xy记作f(x)或y或如对二阶导数再求导，则称三阶导数，.dd33xy记作f(x)或四阶或四阶以上导数记为y(4)，y(5)，···，y(n),dd44xy,ddnnxy或···，而把f(x)称为f(x)的一阶导数.例5求下列函数的二阶导数(1)cosyxx(2)arctanyx(1)'cos(sin)cossinyxxxxxx--xxxxxxxycossin2)cos(sinsin----21(2)'1yx222)1()'1(xxy-22)1(2xx-解：二阶以上的导数可利用后面的数学软件来计算2.2()()(())'()'()dydydudxdudxdyfuuxduuxxyfuuyfuxxx定理若函数在点可导，函数＝在点处可导，则复合函数在点可导，且或记作：推论设y=f(u)，u=(v)，v=(x)均可导，则复合函数y=f[((x))]也可导，.xvuxvuyy复合函数的求导法则以上法则说明：复合函数对自变量的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.23tan4.1(31);2)sin(2);3)lncos;4);5)2xxyxyxyxyey--例求下列函数的导数：）32322222222(1)(),()31,'[()]'3()()'3(31)(31)'3(31)618(31)yuxuxxyuxuxuxxxxxxx解：函数可以分解为(2)2'cos(2)(2)'1cos(2)2cos(2)2xyxxxxxx-----把当作中间变量，(3)cos1sin'(cos)'tancoscosxxyxxxx--把当作中间变量，tantan2tan(4)tan'()'(tan)'secxxxxyeexxe把当作中间变量，(5)'(2)'2ln2()'2ln2xxxxyx------把当作中间变量，先将要求导的函数分解成基本初等函数,或常数与基本初等函数的和、差、积、商.任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述复合函数的求导法则求出.复合函数求导的关键:正确分解初等函数的复合结构.求导方法小结：23221(1);(2)cos3(3)324lgcos(32)xyxyyxxx--练习：求下列函数的导数(课堂练习)（）；；（）222222222(1)'6(1)(2)'3ln3sin323(3)'232[cos(32)]'sin(32)(4)'(32)'4tan(32)cos(32)cos(32)xxyxxyxyxxxxyxxxxx------解:例5：求下列函数的导数（1）（2）（3）（4）2cosxy232--xxeyxylnlnln)1ln(2xxy2.2.5隐函数的导数00()yxFxyFxyyyx与的关系由方程（，）＝确定，未解出因变量的方程（，）=所确定的函数称为隐函数6()1.ydyyyxyxedx例设函数由方程所确定，求'(1)'()','()'(1)''1yyyyyyyyyxyxeyexeexeyxeyeeyxe--解：上式两边对求导，则有＝即1';2'.xyyy隐函数的求导步骤：（）方程两边对求导，求导过程中把视为中间变量，得到一个含有的等式（）从所得等式中解出227()cos().dyyyxyxyxdx-例设函数由方程所确定，求222222222222222222''sin()()'1'sin()(22')1'2sin()2sin()'[12sin()]'12sin()12sin()'12sin()xxyxyxyyxyxyyyxxyyxyyyxyyxxyxxyyyxy--解：方程两边分别对求导，得2()2.dyyyxxyyxdx练习：设函数由方程所确定，求2()'()'2'2'2(2)'22'2xxyyyxyyyxyyyyyxy--解：两边分别对求导，得二元函数的偏导数的求法求对自变量(或)的偏导数时,只须将另一自变量(或)看作常数,直接利用一元函数求导公式和四则运算法则进行计算.),(yxfzxyyx例1设函数324(,)23,fxyxxyy-求(,),xfxy(,),yfxy(1,1),xf(1,1),yf-解：xyxyyxxyxfxx43)32(),(2423--32423122)32(),(yxyyxxyxfyy--111413)1,1(2--xf14)1(1212)1,1(32----yf例2设函数求),ln()(2222yxyxzxzyz解：xxyxyxyxyxxz]))[ln(()ln()(222222222222222212ln()()()xxxyxyxyxy222ln()2xxyx222[ln()1]xxy类似可得2222222)()ln(2yxyyxyxyyz222[ln()1]yxy二元函数的二阶偏导数函数z=f(x,y)的两个偏导数),,(yxfxzx),,(yxfyzy一般说来仍然是x,y的函数，如果这两个函数关于x,y的偏导数也存在，则称它们的偏导数是f(x,y)的二阶偏导数.依照对变量的不同求导次序，二阶偏导数有四个：（用符号表示如下）xzxxzx22xz),(yxfxx;xxzxzyxzyyxz2),(yxfxy;xyzyzxyzxxyz2),(yxfyx;yxzyzyyzy22yz),(yxfyy.yyz其中及称为二阶混合偏导数.),(yxfxy),(yxfyx类似的，可以定义三阶、四阶、…、n阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，),(,),(yxfyyxfx而称为函数f(x,y)的一阶偏导数.注：当两个二阶导数连续时，它们是相等的即),(yxfxy(,)yxfxy例3arctan,xy设z试求函数的四个二阶偏导函数yxz2xyz222zy22zx思考题一求曲线上与轴平行的切线方程.32xxy-x思考题一解答232xy-令0y0322-x321x322-x切点为964,32--964,32所求切线方程为964y964-y和