传递函数

第二章控制系统的数学模型控制系统的时域数学模型传递函数典型环节的传递函数闭环控制系统的动态结构图动态结构图的等效变换反馈控制系统的传递传递函数信号流图与梅逊公式2.1控制系统的数学模型2.1.1什么是控制系统的数学模型？控制系统的数学模型是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性和输出与输入关系的数学表达式。2.1.2数学模型的表示形式(1)微分方程(2)传递函数(3)结构框图(4)信号流图在经典理论中，常用的数学模型是微（差）分方程，结构图，信号流图等；在现代控制理论中，采用的是状态空间表达式。结构图，信号流图是数学模型的图形表达形式。2.1.3建立数学模型的方法建立系统的数学模型简称为建模。系统建模有两大类方法，或者说有两种不同的途径。一类是机理分析建模方法，称为分析法，另一类是实验建模方法，通常称为系统辨识。a.分析计算法分析计算法是根据支配系统的内在运动规律以及系统的结构和参数，推导出输入量和输出量之间的数学表达式，从而建立数学模型——适用于简单的系统。b.工程实验法工程实验法：它是利用系统的输入--输出信号来建立数学模型的方法。通常在对系统一无所知的情况下，采用这种建模方法。但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称为灰盒，可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确而方便地建立系统的数学模型。实际控制系统的数学模型往往是很复杂的，在一般情况下，常常可以忽略一些影响较小的因素来简化，但这就出现了一对矛盾，简化与准确性。不能过于简化，而使数学模型变的不准确，也不能过分追求准确性，使系统的数学模型过于复杂。表示表示表示黑盒输入输出2.2控制系统的微分方程模型2.2.1控制系统运动规律的微分方程微分方程是描述自动控制系统时域动态特性的最基本模型，微分方程又称之为控制系统时域内的运动方程。mn其中或者1011110111()()......()()()()......()()nnnnnnmmmmmmdddaytaytaytaytdtdtdtdddbutbutbutbutdtdtdt()(1)(1)011()(1)(1)011()()......()()()()......()()nnnnmmmmaytaytaytaytbutbutbutbut2.2.2用解析法建立运动方程的步骤是：1.分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，确定出待研究元件或系统的输入量和输出量；2.从输入端入手（闭环系统一般从比较环节入手），依据各元件所遵循的物理，化学，生物等规律，列写各自方程式，但要注意负载效应。所谓负载效应，就是考虑后一级对前一级的影响。3.将所有方程联解，消去中间变量，得出系统输入输出的标准方程。所谓标准方程包含三方面的内容：①将与输入量有关的各项放在方程的右边，与输出量有关的各项放在方程的左边；②各导数项按降幂排列；③将方程的系数通过元件或系统的参数化成具有一定物理意义的系数。2.2.3建立线性系统过程的微分方程(举例)电阻R、电容C和电感L，它们的微分方程关系必须遵循广义欧姆定律。1、元件约束)()(tiRtuRR×ttiCtuCCd)(1)(ttiLtuLLd)(d)(2.网络约束（1）基尔霍夫电压定律（2）基尔霍夫电流定律(关联参考方向)电网络的基本约束为基尔霍夫的两个定律。)()(tutuie0)(ti例写出以ui为输入，u0为输出的微分方程。解：由回路电压定律有即)()()(tututuiCR)()()(tututRiiC将代入上式,有令时间常数则有可简写为)()(,d)(d)(tututtuCtiCoC)()(d)(dtututtuRCiooRCT)()(d)(dtututtuTiooioouuuT&例写出以u为输入，i为输出的微分方程diLRiudt解:对于回路L1，有例写出以ui为输入，u0为输出的微分方程对于回路L2，有+-+-iuouab1i2i1R2R1C2CiCRuuu110221CRCuuu元件约束为化简，可得222111iRuiRuRR××oCCutiCutiiCud1d)(12222111iooouutuCRCRCRtuCRCRdd)(dd212211222211则有设时间常数可简写为213222111,,CRTCRTCRTiooouutuTTTtuTTdd)(dd3212221iooouuuTTTuTT&&&)(321213力学系统(基本约束----牛顿定律)(1)机械平移运动例列出以外力Fi为输入，物体运动平移x为输出的运动方程。其中K为弹性系数，f为阻尼系数，M为物体质量。解：由加速度定律和力为其中弹性阻力22ddtxmFmaifkFFFFkxFk粘滞阻力代入方程有整理得txfFfddiFtxfkxtxmdddd22iFkxtxftxmdddd224机械旋转运动例列出系统运动方程其中，J--转动惯量，ω--旋转角速度，ΣM--和力矩，得其中，Mf--作用力矩；fω--阻力力矩，其大小与转速成正比，负号表示方向与作用力矩方向相反。解：由角加速度方程MtJddwwfMftJwdd整理后，得将它代入方程，得如果以转角θ为输出变量，因为fMftJwwddtddqwfMtftJdddd22qq5复合系统例已知直流电动机，定子与转子的电磁关系如图5-1所示，机电系统原理如图5-1所示，试写出其运动方程。解：这是一个复合系统，依次写出各平衡方程如下:1.电网络平衡方程2.电动势平衡方程3.机械平衡方程4.转矩平衡方程aaaaaaUEIRtILddweakELaaMMtJddwacaIkM联立上述四个方程，略去ML，并消去中间变量Ia、Ea、Ma，得到输入为电枢电压Ua,输出为转轴角速度的二阶微分方程当La很小时，将其略去，得到一阶微分方程waecaacaaUktkRJtkLJwwdd2.3拉氏变换及其应用问题的产生原问题较易解决的问题原问题的解在变换域里的解变换反变换解8733.12726.075.13lglg3lglg75,1375.1xxxx查表上例中得到的启示1.特定类型的方程，必须选用适宜的变换。上例取对数，便可以用较简单的运算代替相对来说是复杂的运算(具体地讲是用加、减运算代替乘、除，用乘、除代替乘方。开方)。2.对这种变换。应制成备查用的变换表，它的作用与对数表的作用相同。3.微分方程（时域模型）的整理过程十分困难，整理完成后也不便于观察和分析系统的环节间的相互影响情况。更不便于控制系统的设计。2.3.1拉普拉斯变换定义定义f（t）为时间t的函数，当t0时，f（t）=0；f（t）的拉普拉斯变换定义为：为的像函数，或的拉普拉斯变换。为的像原函数或拉普拉斯逆变换S为复变量：s=σ+jω0)()()]([dtetfsFtfLst)(sF)(tf)(tf)(tf)(sF拉普拉斯变换的基本性质线性性质拉普拉斯逆变换也是线性的，即有)()]([)()]([)]([)(111sFsFLLtftfLLsFLtf立按定义以下两恒等式成][][][)()(221122112121）（）（）（）（任意常数，有、为任意函数，、tfCLtfCLtfCtfCLCCtftfkkkkkksFLCsFCL)]([)]([111微分定理（导数的像函数）设是对时间的一阶导数，求变换（利用分部积分）则2.3.2拉普拉斯变换的相关定理)(tfdtd)(tf000)]([|)()(dtsetfdtdsetfdtetfststst)]([1)0(tfdtdLssf）（）（）（0][fssFtfdtdL则…………当所有的初值均为零时，即0)0()0()0()1(nfffL&)()](dd[ssFtftL)()](dd[222sFstftL)()](dd[sFstftLnnn2积分定理（积分的像函数）把时域的积分运算转换成S域的除法如则[])()(sFtfLssFduufLt)()(03终值定理终值定理的表述)(lim)(lim0ssFtfst4初值定理初值定理的表述：)(lim)0(ssFfs5线性定理则若)()]([)()]([2211sFtfLsFtfL)()()]()([2121sFbsFatfbtfaL××××6延迟定理则信号f(t)与它在时间轴上的平移信号f(t-T)的关系示意图ttf(t)f(t-)00若该定理说明，在时间域的平移变换在复数域有对应的衰减变换。)()]([sFtfL)()]([sFetfLs×7衰减定理则若该定理说明，时间信号f(t)在时间域的指数衰减，其拉氏变换在复数域有对应的坐标平移。)()]([sFtfL)()]([aa×sFtfeLt8卷积定理时域函数的卷积分为则若)()]([11sFtfL)()]([22sFtfL×tftftftf0212*1d)()()()()()()]()([]d)()([212*1021sFsFtftfLftfLt××为何要将时域函数f(t)转换成复变函数F(s)？1.时域中超越函数在变换域中是有理函数2.可以简化计算，如卷积分转变成相乘运算。两个优点：例RC滤波电路如图所示，输入电压ui(t)=5V，试求：当电容初始电压uc(0)分别为0V和1V时的时间解uc(t)。解：RC电路的微分方程为)()(d)(dtututtuRCiccR=10kui=5VucC=10)]([)](d)(d[tuLtuttuRCLicc方程两边作拉氏变换)]([)]([]d)(d[tuLtuLttuLRCicc由拉氏变换的线性定理，有)()()]0()([sUsUussURCiccc由拉氏变换的微分定理，得将R=10k,C=10,Ui(s)=5V代入，整理得ssusUscc5)0(1.0)()11.0()11.0(5)0(1.0)(sssusUcc于是，输出的拉氏变换为（1）uc(0)=0V时1055)11.0(5)(sssssUc])(1[55)(15)(1010ttcetettu（2）uc(0)=1V时1045)11.0(51.0)(ssssssUc]54)(1[54)(15)(1010ttcetettuuc(t)5V1V00.1t两种初值时系统的时间响应