高一三角形“四心”的向量性质及其应用(含解析)

---1---DABCOB1C1ABCO学案：三角形“四心”的向量性质及其应用(答案)一．三角形“四心”的概念介绍(1)重心—三条中线的交点：重心将中线长度分成2：1；(2)外心—三边中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等；(3)垂心—三条高线的交点：高线与对应边垂直；(4)内心—三条内角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等．二．基础知识与相关例题1.奔驰定理：O为ABC△内一点，则有：0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OCSOBSOASOABOCAOBC证明：先证一个引理：若O为ABC△内一点，且ACABAOµλ+=则λ=∆∆ABCAOCSS，µ=∆∆ABCAOBSS.（这本身就是一个结论，且很好用）证明：延长AO交BC于D点，如图所示：因为O为三角形内一点，故必有O在线段AD上（不含端点）D在线段BC上（不含端点）因此可设BCxBD⋅=，ADyAO⋅=，其中10x，10y将BCxBD⋅=用A点拆开可得：)(ABACxABAD−=−，可得ACxABxAD+−=)1(，故ADyAO⋅=ACxyABxyy+−=)(按条件ACABAOµλ+=，故必有xyy−=λ，xy=µ，其中10x，10y故必有0)1(−=−=xyxyyλ，0=xyµ，且1=+yµλ.注：以上此法常用于确定系数的取值范围。（在你写的证明中，以上可以默认）故：ACABAOµλ+=时，若O为ABC△内一点，则必有0λ，0µ且1+µλ；若0λ，0µ且1+µλ，则必O为ABC△内一点.下面确定O点的准确位置.以AO为对角线，作平行四边形11OCAB如图所示：显然11ACABAO+=，按条件ACABAOµλ+=故必有ABABλ=1，ACACµ=1故必有ABCCABSSABAB∆∆==11λABCAOCSS∆∆=，同理ABCAOBSSACAC∆∆==1µ.证毕.注：CAB1∆与ABC∆都以C为顶点，故等高，故底边长之比即为面积之比；CAB1∆与AOC∆这两个三角形等底等高，故面积相等.---2---ABCOABCOSCSBSAABCOOEDABC重申以上引理：若O为ABC△内一点，且ACABAOµλ+=.则λ=∆∆ABCAOCSS，µ=∆∆ABCAOBSS，µλ−−=∆∆1ABCBOCSS.下证：奔驰定理证明：由引理可得：对于ABC△内一点O，必有ACSSABSSAOABCAOBABCAOC⋅+⋅=∆∆∆∆用O点拆开即可，过程如下：以上等式可整理为)()(OAOCSSOAOBSSOAABCAOBABCAOC−⋅+−⋅=−∆∆∆∆两边乘以ABCS∆整理可得：)()(OAOCSOAOBSOASAOBAOCABC−⋅+−⋅=⋅−∆∆∆移项整理为0)(=⋅+⋅+⋅−−∆∆∆∆∆OCSOBSOASSSAOBAOCAOBAOCABC即得0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OCSOBSOASOABOCAOBC，奔驰定理得证.注：若简记三个面积：AOBCSS=∆，BOCASS=∆，COABSS=∆；则奔驰定理可写成更好看的形式，即0=⋅+⋅+⋅OCSOBSOASCBA.应用：设O在ABC∆的内部，若有正实数321,,λλλ满足：0321=⋅+⋅+⋅OCOBOAλλλ，则必有：.::::321λλλ=∆∆∆AOBCOABOCSSS证明：（本来这个就是奔驰定理，为了不重复证明，故下面选择另一种证明方式！）作：OAOA⋅=1'λ，OBOB⋅=2'λ，OCOC⋅=3'λ，则+'OA+'OB0'=OC，即O为'''CBA∆的重心,故必有''''''OBAOACOCBSSS∆∆∆==.设此面积为S.因为OAOA'1=λ，OBOB'2=λ，OCOC'3=λ，故32''''λλ=⋅=∆∆OCOCOBOBSSBOCOCB，故32λλ=∆BOCSS即132132λλλλλλ⋅==∆SSSBOC；同理2321λλλλ⋅=∆SSCOA，3321λλλλ⋅=∆SSAOB；故得：.::::321λλλ=∆∆∆AOBCOABOCSSS证毕.例1．点O在ABC∆内部且满足032=++OCOBOA，则:ABCS∆=∆AOCS．填：3解析：法1：由奔驰定理易知：3:2:1::=∆∆∆AOBCOABOCSSS，故:ABCS∆=∆AOCS32:6=法2：()042232=+=+++=++ODOEOCOBOCOAOCOBOA（取E为AC的中点，D为BC的中点）易得：DOE,,三点共线，且ODEO2=，从而得到：ABCADCAOCSSS∆∆∆==3132.'A'B'COABC---3---ODABC例2．点O在ABC∆内部且满足ACABAO5152+=，则:ABCS∆=∆AOBS．解析：法1：由ACABAO5152+=，直接用引理中的结论可得51=∆∆ABCAOBSS，故填：5.法2：ACABAO5152+=，用O拆开得：022=+⋅+⋅OCOBOA，由奔驰定理可得：1:2:2::=∆∆∆AOBCOABOCSSS，则:ABCS∆51:)122(=++=∆AOBS.法3：ACADACABAO51545152+=+=，（取D为AB边的中点），即ACADAO+=45，AOACADAO−=−44，即OCDO=⋅4得到：COD,,共线，且ODCO4=，则:ABCS∆5:==∆ODCDSAOB.2.三角形重心的向量表示及应用基础知识：G是ABC△的重心⇔)(31ACABAG+=⇔0=++GCGBGA⇔)(31OCOBOAOG++=(O为该平面上任意一点)例1.已知DEF，，分别为ABC△的边BCACAB，，的中点．求证：0=++CFBEAD．证明：按条件222CBCABABCACABCFBEAD+++++=++0202022=+=+++++=BACBACCABCAB证毕.例2.已知ABC∆三个顶点CBA、、及平面内一点P，满足0=++PCPBPA，若实数λ满足：APACABλ=+，则λ的值为()A．2B．23C．3D．6解析1：P为重心，得)(31ACABAP+=，故APACAB⋅=+3解析2：0=++PCPBPA用A点拆开，即0=−+−+−APACAPABAP，故APACAB⋅=+3.例3．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足)(ACABOAOP++=λ，[)+∞∈,0λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的()A．外心B．内心C．重心D．垂心---4---BCAMNGHABCQGABC解析：因为)(ACABOAOP++=λ，可化为ADAP⋅=λ2，取D为BC的中点即点P的轨迹为BC边的中线AD（射线），故必过重心.例4．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足)sinsin(CACACBABABOAOP++=λ，[)+∞∈,0λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的()A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：由于AHBAB=sin||，AHCAC=sin||，故)sinsin(CACACBABABOAOP++=λ可化为)(ACABAHOAOP++=λ，由例3可知点P的轨迹必过重心.例5.O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++−+−=，*R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的()．A．内心B．垂心C．重心D．AB边的中点解析：])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++−+−=OCOD3)21(3)22(λλ++−=（D为AB边的中点）知CDP,,三点共线（因1321322=++−λλ），故知点P的轨迹为AB边的中线所在直线，但是0≠λ，故除去重心.例6．已知O是ABC∆的重心，动点P满足)22121(31OCOBOAOP++=,则点P一定为ABC△的()A．AB边中线的中点B．AB边中线的三等分点(非重心)C．重心D．AB边的中点解析：)22121(31OCOBOAOP++=OCOD3231+=（D为AB边的中点）进而有：PCDP2=，故为P为AB边中线的三等分点(非重心).例7．设点P是ABC∆内一点，用ABCS∆表示ABC∆的面积，令ABCPBCSS∆∆=1λ，ABCPCASS∆∆=2λ，ABCPABSS∆∆=3λ．定义),,()(321λλλ=Pf，若)61,31,21()(),31,31,31()(==QfGf则()A．点Q在ABG∆内B．点Q在BCG∆内C．点Q在CAG∆内D．以上皆不对解析：G为重心，画图得知例8．如图，已知点G是ABC∆的重心，过G作直线与ACAB,两边分别交于NM,两点，且AMxAB=






，ANyAC=





，求证：113xy+=．解：由NGM,,三点共线，故存在Rt∈使得：ANtAMtAG⋅+⋅−=)1(ACtyABxt⋅+⋅−=)1(---①---5---OEDFABC又G是ABC∆的重心，故：ACABAG⋅+⋅=3131-----②由①②得：==−3131)1(tyxt，即==−ytxt31311，消去t得：13131=+yx，即113xy+=成立.3.三角形的外心的向量表示及应用基础知识：O是ABC△的外心⇔222||||||OCOBOAOCOBOA==⇔==常用结论：O是ABC△的外心⇒.2||;2||22ACAOACABAOAB=⋅=⋅证明：因为O点在AB边上的正射影F为AB的中点，如图：故.2||2ABABAFABAOAOAB=⋅=⋅=⋅其他依次类推.例1．若ABC∆的外接圆的圆心为O，半径为1，0=++OCOBOA，则=⋅OBOA()A．21B．0C．1D．21−解析：由OCOBOA−=+，两边平方得222)(2OCOBOAOBOA−=⋅++，代入数值11||||||222===⇔====OCOBOAOCOBOAR，得：21−=⋅OBOA.例2．在ABC△中，动点P满足：CPABCBCA⋅−=222，则P点轨迹一定通过△ABC的()Ａ．外心Ｂ．内心C．重心D．垂心解析：CPABCBCA⋅−=222⇔02))((222=⋅−+−=⋅−−CPABCACBCACBCPABCACB即02)(=⋅−+CPABCACBAB，取D为AB边的中点进而有：=⋅−⋅CPABCDAB22=−⋅)(2CPCDAB02=⋅PDAB，即ABPD⊥.故知点P的轨迹为AB边的中垂线，故其轨迹必过外心.例3．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足2coscosOBOCABACOPABBACCλ+=++




















，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的()．A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：先取D为BC边的中点，即DPODOPOCOBOP=−=+−2，原式可化为+=CACACBABABDPcoscosλ，又因为0||||coscos||||cos)cos(||||)coscos(=+−=⋅+−⋅=⋅+BCBCCACCBCACBABBBCABBCCACACBABABπ即可得BCDP⊥，知点P的轨迹为BC边的中垂线，故其轨迹必过外心.---6---例4．已知ABC∆中，1,1,2−=⋅==ACABACAB，O为ABC∆的外心，且BCyABxAO+=，则=+yx．解析：法1：由BCyABxAO+=ACyAByx+−=)(，由ACAByAByxABBCyAByxABAOAB⋅+−=⇒+−⋅=⋅22)(2))((，得：yyx−−=)(42；同理22)(2))((ACyACAByxACBCyAByxACAOAC+⋅−=⇒+−⋅=⋅，得：yyx+−−=)(21；两式联立解得：34,613==yx，故27=+yx.法2：以},{ACAB为基底，表示：COBOAO,,，利用222COBOAO==，得之BCyABxAO+=ACyAByx+−=)(，两边平方可得：yyxyyxAO)(2)(4222−−+−=；ACyAByxABAOBO+−−=−=)1(，两边平方可得：yyxyyxBO)1(2)1(4222−−−+−−=；ACyAByxACAOCO)1()(−+−=−=，两边平方可得：)1