第四讲(2-2)-2.3-传递函数-2.4-典型环节的传递函数

上海大学机电工程与自动化学院工程控制原理2.数学模型与传递函数主讲：谢少荣办公室：机械楼213室电子邮件：[e-mail]办公电话：56337304上海大学机电工程与自动化学院拉普拉斯变换回顾拉普拉斯变换[]∫∞−==0d)()()(tetftfLsFst复变量原函数象函数拉氏变换符号∫∞+∞−=jjd)(πj21)(aaatsesFtf拉普拉斯反变换上海大学机电工程与自动化学院拉普拉斯变换简表(待续)序号原函数f(t)(t0)象函数F(s)=L[f(t)]11(单位阶跃函数)1s2δ(t)(单位脉冲函数)13K(常数)Ks4t(单位斜坡函数)1s2上海大学机电工程与自动化学院拉普拉斯变换简表(续1)2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换序号原函数f(t)(t0)象函数F(s)=L[f(t)]5tn(n=1,2,…)n!sn+16e-at1s+a7tne-at(n=1,2,…)n!(s+a)n+181T1Ts+1tTe上海大学机电工程与自动化学院拉普拉斯变换简表(续2)2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换序号原函数f(t)(t0)象函数F(s)=L[f(t)]9sinωtωs2+ω210cosωtss2+ω211e-atsinωtω(s+a)2+ω212e-atcosωts+a(s+a)2+ω2上海大学机电工程与自动化学院(1)分母B(s)无重根()nnpsapsapsasBsAsF+⋅⋅⋅++++===2211)()(系数ak称为极点s=-pk处的留数。2.2.5拉普拉斯反变换kpsk)()()(a−=+=sBsApsk如p1和p2是共轭复数时，则留数α1和α2也必然是共轭复数上海大学机电工程与自动化学院(2)分母B(s)有重根若有三重根，并为p1，则F(s)的一般表达式为())())(()()(3231npspspspssAsF++++=()()()11321123111pspsps+++++=ααα2.2.5拉普拉斯反变换()()nnpspsps++⋅⋅⋅+++++ααα3322上海大学机电工程与自动化学院[]1)()(3111pssFps−=+=α()1)()(dd3112pssFpss−=+=α()1)()(dd21312213pssFpss−=+=！α2.2.5拉普拉斯反变换依此类推，当p1为k重根时，其系数为：()1)()(dd)!111)1()1(m1pskmmsFpssm−=−−+−=（αkm,,2,1=上海大学机电工程与自动化学院2.3传递函数微分方程的求解十分繁琐，而且从其本身很难分析研究系统的动态性能，尤其是对复杂的系统及高阶微分方程。2.数学模型与传递函数拉氏变换方便直观地描述零初始条件下的单输入单输出系统，是对元件及系统进行分析、研究与综合的有力工具。根据传递函数在复平面上的形状可以直接判断系统的动态性能，找出改善系统品质的方法。传递函数是经典控制理论的基础，是极其重要的基本概念。传递函数得到代数方程(复数域)，使解算简化而方便。上海大学机电工程与自动化学院2.3.1传递函数的定义线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统（或环节）输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。2.3传递函数即[][])()()()()(ioiosXsXtxLtxLsG==)()()(iosGsXsX=可见传递函数是描述系统的一种数学方式。G(s)Xo(s)Xi(s)输入信号经系统(或环节)传递[乘以G(s)]，得到输出信号。称G(s)为传递函数上海大学机电工程与自动化学院2.3.2传递函数的求法设线性定常系统（或环节）由下述n阶线性常微分方程描述2.3传递函数式中，n≥m。)(d)(dd)(dd)(do0o11o1n1nontxattxattxattxannn++⋅⋅⋅++−−−)(d)(dd)(dd)(di0i11i11mimtxbttxbttxbttxbmmmm++⋅⋅⋅++=−−−上海大学机电工程与自动化学院当初始条件全为零，即：xi(t)和xo(t)及其各阶导数在t=0的值均为零时，对上式进行拉氏变换2.3.2传递函数的求法())(o0111nnsXasasasann++⋅⋅⋅++−−())(i0111mmsXbsbsbsbmm++⋅⋅⋅++=−−由此可知，只要知道系统微分方程，就可求出其传递函数。得到系统（或环节）传递函数的一般形式01110111io)()()(asasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmm++++++++==−−−−上海大学机电工程与自动化学院2.3.3传递函数的特点2.3传递函数(1)分母是系统的特征多项式，代表系统的固有特性，分子代表输入与输出的关系。传递函数表达了系统本身的动态性能，与输入量的大小及性质无关。(2)传递函数不说明被描述系统的物理结构。只要动态性能相似，不同的系统可以用同一类型的传递函数描述。(3)传递函数可以是无量纲的，也可以是有量纲的，这要看系统输入、输出量的量纲，以及两者的比值。(4)传递函数是复变量s的有理真分式，m≤n，且具有复变函数的所有性质。上海大学机电工程与自动化学院2.3传递函数传递函数分母中的最高阶次，等于输出量最高阶导数的阶次。如果s的最高阶次等于n，则称这种系统为n阶系统。)()(d)(dd)(d00202tftkxttxDttxmi=++例题已知系统微分方程，求其传递函数。解：在零初始条件下，对上式两边取拉普拉斯变换，得)()()()(iooo2sFskXsDsXsXms=++整理得到描述系统的传递函数kDsmssFsXsG++==2io1)()()(上海大学机电工程与自动化学院2.4典型环节的传递函数控制系统一般由若干元件以一定形式连接而成，从控制理论来看，物理本质和工作原理不同的元件可以有完全相同的数学模型。2.数学模型与传递函数在控制工程中，一般将具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个环节，经常遇到的环节称为典型环节。复杂控制系统常常由一些简单的典型环节组成，求出这些典型环节的传递函数，就可以获得整个系统的传递函数。上海大学机电工程与自动化学院控制系统中常用的典型环节有：比例环节、惯性环节、微分环节、积分环节、振荡环节和延时环节等。2.4典型环节的传递函数2.4.1比例环节比例环节的传递函数为KsXsXsG==)()()(io如果一个环节的输出与输入成正比例，既不失真也不延时，则称此环节为比例环节，也称放大环节。其数学模型为)()(iotxKtx=比例环节的增益，或称放大环节的放大系数KXo(s)Xi(s)比例环节的方框图上海大学机电工程与自动化学院2.4.1比例环节KzztNtNsG===21io)()()(例题求图示一齿轮传动副的传递函数。ni、no分别为输入轴及输出轴转速，z1和z2为齿轮齿数(假定系统为：齿轮副无传动间隙，且传动系统刚性无穷大的理想状态)。解：因为)()(o2i1tnztnz=经拉氏变换后)()(o2i1sNzsNz=齿轮副的传动比比例环节：略去弹性的杠杆、作为测量元件的测速发电机(输入为转速、输出为电压)、电子放大器，等等z1z2no(t)ni(t)齿轮传动副上海大学机电工程与自动化学院2.4典型环节的传递函数2.4.2惯性环节形式的环节称为惯性环节。其传递函数为：1)()()(io+==TsKsXsXsG凡运动方程为一阶微分方程：)()(d)(diootxKtxttxT=+惯性环节的增益，或称放大系数惯性环节的方框图KTs+1Xo(s)Xi(s)惯性环节的时间常数惯性环节元件中，总含有储能元件。对于突变形式的输入而言，输出总落后于输入。表征环节的惯性，与环节结构参数有关上海大学机电工程与自动化学院2.4.2惯性环节例题1求图示质量-弹簧-阻尼器环节传递函数。解：若质量m相对很小，可略去其影响(忽略惯性力)。此时的系统动力学方程为)()(d)(diootkxtkxttxc=+经拉氏变换后)()()(iooskXskXscsX=+质量-弹簧-阻尼器系统模型mxo(t)kcxi(t)系统传递函数为11)()()(io+=+==TskcsksXsXsG惯性环节的时间常数kcT=上海大学机电工程与自动化学院2.4.2惯性环节例题2求图示简单阻容电路的传递函数。经拉氏变换后)()()(ioosUsUsRCsU=+系统传递函数为1111)()()(io+=+==TsRCssUsUsG电路的时间常数RCT=阻容电路RCi(t)ui(t)uo(t)解：电路方程为∫⋅+⋅=ttiCtiRtuid)(1)()(∫⋅=ttiCtuod)(1)(储能元件耗能元件)()(d)(diootututtuRC=+上海大学机电工程与自动化学院2.4.2惯性环节例题3图示为简化了的直流发电机电路。转子恒速转动，输入为激磁电压ui，输出为电压uo，求此系统的传递函数。解：激磁电路电压方程为ttiLtRitud)(d)()(i+=经拉氏变换后，系统传递函数为1)()()(1io+=+==TsKRLsKsUsUsG惯性环节的时间常数RLT=LRi(t)ui(t)uo(t)Mω输出电路中转子恒速，故)()(1otiKtu=ttuKLtuKRtud)(d)()(o1o1i+=常数惯性环节的增益RKK1=K1上海大学机电工程与自动化学院2.4典型环节的传递函数2.4.3微分环节因此，理想微分环节的传递函数为TssXsXsG==)()()(io理想微分环节的输出量正比于输入量的微分，即ttxTtxd)(d)(io=微分环节的方框图TsXo(s)Xi(s)当输入量为阶跃函数时，理论上输出量将是一个幅值为无穷大而时间宽度为零的脉冲，实际上不可能。因此，在物理系统中微分环节不独立存在，而是和其它环节一起出现。微分环节的时间常数上海大学机电工程与自动化学院2.4.3微分环节例题1仍考虑直流发电机电路。当激磁电压ui恒定时，取输入为转子转角θ，输出为电枢电压uo，求此时的传递函数。解：由于ui恒定，磁通量为定值，所以电枢电压与转速成正比，即ttKtud)(d)(oθ=系统传递函数为KssΘsUsG==)()()(oLRi(t)ui(t)uo(t)Mω常数经拉氏变换后得)()(osKsΘsU=上海大学机电工程与自动化学院2.4.3微分环节例题2图示液压阻尼器原理。求系统传递函数。解：液压缸力平衡方程为())(o12tkxppA=−过阻尼的流量方程[])()(oi12txtxARppq−=−=液压阻尼器系统模型p1p2qAxo(t)kRxi(t)液阻活塞有效面积流量压强弹簧刚度输入输出以上两式中消去p1、p2，得)()()(o2oitxRAktxtx=−)()()(io2otxtxRAktx=+上海大学机电工程与自动化学院2.4.3微分环节经过拉氏变换后得到得到传递函数1)()()(2io+=+==TsTsRAksssXsXsG由上面传递函数形式看出，液压阻尼器是包含有惯性环节和微分环节的系统，称之为具有惯性的微分环节。若|Ts|1时，G(s)≈Ts，系统近似成为理想微分环节。)()()(io2ossXsXRAkssX=+kRAT2=上海大学机电工程与自动化学院2.4.3微分环节例题3图示电路系统为具有惯性的微分环节。求此系统的传递函数。CR1iRuiuoiCiR2解：电路方程为oCid1utiCu+=∫∫=tiCRid1C1RCC1CRd1itiCRiii+=+=∫C2C122odiRtiCRRRiu+=⋅=∫)()()(C2C12osIRsICsRRsU+=)()(1)(oCisUsICssU+=上海大学机电工程与自动化学院2.4.3微分环节消去IC(s)后，得得到传递函数1)1()1()1()()()(11212io++=+++==KTsTsKRCsRRCsRRsUsUsG)()(1)(o2o11isURsUCsRRsU++=CRT1=212RRRK+=时间常数上海大学机电工程与自动化学院2.4.3微分环节当R1→∞时，得到传