第二节-传递函数

第二节传递函数拉普拉斯变换拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。拉氏变换与拉氏变换的定义拉氏变换的定义设有时间函数f(t)，其中，则f(t)的拉氏变换记作：L—拉氏变换符号；s-复变量；F(s)—象函数。f(t)—原函数0t0stdte)t(f)s(F)]t(f[L拉氏反变换的定义将象函数F(s)变换成与之相对应的原函数f(t)的过程11()[()]()2jwstjwftLFsFsedsj线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),则有：此式可由定义证明。)s(Fk)s(Fk)]t(fk)t(fk[L22112211拉氏变换的性质实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有,其中，当t0时，f(t)=0，f(t-a)表f(t)延迟时间a.)s(Fe)]at(f[Las复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有)as(F)]t(fe[Lat微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)由正向使时的f(t)值。'()[][()]()(0)dftLLftsFsfdt0t积分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中是时的值。)0(fs1s)s(F]dt)t(f[L)1(t00()0tftdtt在(1)f(0)初值定理设f(t)的拉氏变换为F(s)，则函数f(t)的初值定理表示为：证明技巧：可利用微分定理来进行证明)s(sFlim)t(flim)0(fs0t终值定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则终值定理表示为：0lim()lim()tsftsFs卷积定理设f(t)的拉氏变换为F(s),g(t)的拉氏变换为G(s)，则有式中，称为f(t)与g(t)的卷积。t0Lf(t)g()dF(s)G(s)t0f(t)g()df(t)g(t)1、单位阶跃函数011t0t0t0001111.stststLttedtedtess典型时间函数的拉氏变换2、单位脉冲函数0t0t0t0st1dte)t()]t([L3、单位斜坡函数000tuttt020011()stststLuttedtteedtss4、指数函数ate00t)as(statatas1edtee]e[L5、正弦函数sinwt)ee(j21wtsinjwtjwt0()()0221[sin]()21()2111()2jwtjwtstsjwtsjwtLwteeedtjeedtjwjsjwsjwsw6、余弦函数coswt)ee(21wtcosjwtjwt22wss]wt[cosL传递函数传递函数的基本定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。传递函数的基本概念设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：当初始条件全为零时，对上式进行拉氏变换可得其中：传递函数传递函数的主要特点G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构传递函数是复变量s的有理真分式函数，m≤n，且所具有复变量函数的所有性质。传递函数与微分方程有相通性。只要把系统或元件微分方程中各阶导数用S相应阶次的变量代替，就很容易求得系统或元件的传递函数。22dydymfkyFdtdt2()()()()msYsfsYskYsFs2()1()()YsGsFsmsfsk2()()()msfskYsFs22cccduduLCRCuudtdt2()()()()cccLCsUsRCsUsUsUs2(1)()()cLCsRCsUsUs2()1()()(1)cUsGsUsLCsRCs211221122122()cccduduRCRCRCRCRCuudtdt21122112212()()()()()cccRCRCsUsRCRCRCsUsUsUs21122112212()1()()()1cUsGsUsRCRCsRCRCRCs传递函数的基本形式零点、极点表示形式：(1,2,,)izim传递函数的零点。(1,2,,)jpjm传递函数的极点。mgnbKa传递函数的传递系数。传递函数的基本形式时间常数表示形式：(1,2,,)iim分子各因子的时间常数。(1,2,,)jTjm分母各因子的时间常数。00bKa传递函数的放大系数。时间常数表示形式零点、极点表示形式具有共轭复数零、极点和零值极点时，传递函数可以改写为：or典型环节的数学模型典型环节及其传递函数具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个环节。任何复杂系统可看做由一些基本的环节组成，控制系统中常用的典型环节可以归纳为：比例环节、惯性环节、微分环节、积分环节、振荡环节和延迟环节等。1、比例环节比例环节又称放大环节，其输出量与输入量之间的关系为一种固定的比例关系。这就是说，它的输出量能够无失真、无迟后地按一定的比例复现输入量。比例环节的表达式为：()()ytKrt环节的放大系数其传递函数是：()()()YsGsKRS2、惯性环节()()()dytTytKrtdt自动控制系统中经常包含有这种环节，这种环节具有一个储能元件。一阶惯性环节的微分方程为：其传递函数是：()()()1YsKGsRSTs时间常数惯性环节的特点是其输出不能立即跟随时间发生变化，存在时间上的延迟，其中时间常数T越大，环节的惯性越大。3、积分环节()()dytrtdt积分环节输入量与输出量之间关系的动态方程为：其传递函数是：()()()YsKGsRss4、振荡环节振荡环节的微分方程为：222()2()()()ddTytTytytrtdtdt其传递函数是：22()1()()21YsGsRsTsTs5、微分环节微分环节是积分环节的逆运算，其输出量反映了输入信号的变化趋势。常用的微分环节有纯微分环节、一解微分环节、二阶微分环节：其传递函数分别是：6、延迟环节延迟环节的特点是，其输出信号比输入信号迟后一定的时间。其数学表达式为：()()ytrt其传递函数是：延迟时间()()()sYsGseRs生产实践中特别是一些液压、气动或机械传动系统中都可能会遇到纯时间滞后现象。注意延迟和惯性环节的区别。注意：1、典型环节与元件并非一一对应的。2、控制系统模型与典型环节对比，即可知其有什么样的典型环节组成，由于典型环节的特性是熟知的，可为系统分析提供方便。3、典型环节只适用于线性定常系统。