点击与圆有关的中考最值问题

点击与圆有关的中考最值问题江苏省南京市金陵中学河西分校　李玉荣　(邮编:210019)　　安徽省当涂县塘南初级中学　　　吴润虎　(邮编:243100)　　　　优秀的中考数学题,大多以能力立意,无论其呈现方式如何,以什么样的知识为载体,都是以考查学生的思维品质为出发点和归宿,同时,考虑学生升入高中学习所必备的数学知识和素养,例如将圆的知识与最值问题综合起来考查就是2013年中考的一种亮点题型.1　应用极端原理因为许多事物的性质和矛盾,最容易在其临界情况和极端状态下体现和暴露出来,所以在解决数学问题时,常常利用极端、临界的元素为“突破口”,进行探索、推理论证,使“变动”转化为“确定”,从而分散问题的难点使问题得到解决,这种数学思想方法,就是极端性原理.最值问题大多由动点而产生,找出动点(相应动线)的极端位置,常常能确定最值.例1　(2013年西双版纳)如图1,AB是☉O的直径,点C在☉O上,点P在线段OA上运动,设∠PCB=a,则a的最大值是　　　　　　　.PAOBC图1解析　当点P运动到极端位置A点时,a最大,由AB是☉O的直径知a的最大值是90°.例2　(2013年枣庄)如图2,已知线段OA交☉O于点B,且OB=AB,点P是☉O上的一个动点,那么∠OAP的最大值是(　　)POBA图2A.90°　　B.60°C.45°　　D.30°解析　当点P运动到极端位置PA为切线(P为切点时),∠OAP最大,由OB=AB=OP知OP=12OA,从而∠OAP=30°是最大值,故选D.例3　(2013年陕西)如图3,AB是☉O的一条弦,点C是☉O上一动点,且∠ACB=30°,点E、F分别是AC、BC的中点,直线EF与☉O交于G、H两点.若☉O的半径为7,则GE+FH的最大值为　　　　　　　.GHCBEFOA图3解析　连接OA、OB,则∠AOB=2∠ACB=60°,故△AOB是等边三角形,可得AB=OA=7,又EF是△ACB的中位线,所以EF=12AB=72,于是GE+FH=GH―EF=GH―72,要使GE+FH最大,只需GH最大,显然当GH为直径这一极端位置时最大,此时GE+FH=14―72=212.OABQCP图4例4　(2013年德阳)如图4,在圆O上有定点C和动点P,位于直径AB的异侧,过点C作CP的垂线,与PB的延长线交于点Q,已知:圆O的半径为52,tan∠ABC=34,则CQ的最大值是(　　)A.5　　B.154　　C.253　　D.203解析　显然△ACB∽△PCQ,可得CPCQ=ACBC=tan∠ABC=34,所以CQ=43CP,当CP运动到极端位置直径时,CP最大为5,从而CQ的最大值是203,故选D.例5　(2013年常州)在平面直角坐标系362014年第2期中学数学教学xOy中,已知点A(6,0),点B(0,6),动点C在以半径为3的☉O上,连接OC,过O点作OD⊥OC,OD与☉O相交于点D(其中点C、O、D按逆时针方向排列),连接AB.(1)当OC∥AB时,∠BOC的度数为　　　　;(2)连接AC、BC,当点C在☉O上运动到什么位置时,△ABC的面积最大?并求出△ABC的面积的最大值.(3)连接AD,当OC∥AD时,①求出点C的坐标;②直线BC是否为☉O的切线?请作出判断,并说明理由.解析　(1)、(3)略;(2)因为△OAB为等腰直角三角形,所以xyOEDCBA图5AB=2OA=62,当点C到AB的距离最大时,△ABC的面积最大.过O点作OE⊥AB于E,OE的反向延长线交☉O于C(动点C的极端位置),如图5,此时C点到AB的距离的最大值为CE的长,∵△OAB为等腰直角三角形,∴AB=2OA=62,∴OE=12AB=32,∴CE=OC+CE=3+32,△ABC的面积=12CE·AB=12×(3+32)×62=92+18.∴当点C在☉O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时,△ABC的面积最大,最大值为92+18.评注　上述几例考题尽管背景不同,但有异曲同工之妙,每道题都会帮助学生打开眼前一扇窗.解决这类问题的关键是运用动态思维,善于从极端位置(端点处、临界点等)切入,化动为静,把握运动中的不变量,实现解题中的智慧托举.2　应用垂线段最短直接求线段最值有困难时,可利用图形特点寻找与其它线段之间的关系,将问题转化为求另一条线段的最值,而这条线段的最值可应用“垂线段最短”求解.例6　(2013年咸宁)如图6,在Rt△AOB中,OA=OB=32,☉O的半径为1,点P是AB边上的动点,过点P作☉O的一条切线PQ(点Q为切点),则切线PQ的最小值为　　　　.图6APQOB解析　连接OP、OQ.因PQ是☉O的切线,故OQ⊥PQ.当PO⊥AB时,线段OP最短,从而PQ最短.在Rt△AOB中,OA=OB=32,所以AB=2OA=6,OP=OA·OBAB=3,根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2,PQ=OP2-OQ2=32-12=22.故答案为22.评注　连接OP、OQ,根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2,可得当OP⊥AB时,线段OP最短,此时线段PQ最短,然后由勾股定理即可求得答案,此题考查了切线的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的高等知识,关键是求出PQ最短时的位置.例7　(2013年内江)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心的圆过点A(13,0),直线y=kx-3k+4与☉O交于B、C两点,则弦BC的长的最小值为　　　　.解析　如图7,由直线y=kx-3k+4必过点D(3,4),所以过D的最短的弦BC是与过点D的该圆直径垂直的弦,因点D的坐标是(3,4),所以OD=5,又以原点O为圆心的圆过点A(13,0),所以圆的半径为13,OB=13,由勾股定理BD=12,即BC的长的最小值为24,故答案为24.评注　根据直线y=kx-3k+4必过点D(3,4),求出最短的弦BC是与过点D的该圆直径垂直的弦,再求出OD的长,再根据以原点O为圆心的圆过点A(13,0),求出OB的长,再利用勾股定理求出BD,即可得出答案.此题考查了一次函数的综合,用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质,关键是求出BC最短时的位置.46中学数学教学2014年第2期xyCDBAO图73　应用轴对称课本唯一的最值几何模型:如图8,A、B是直线同旁的两个定点.在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.方法:如图8,作点A关于直线l的对称点A′,连结A′B交l于点P,则PA+PB=A′B时最小.此法主要解决两条线段和的最小值问题,中考试题中此类题最为常见.P图8ABlA′例8　(2013年贵港)如图9,MN为☉O的直径,A、B是圆O上的两点,过A作AC⊥MN于点C,过B作BD⊥MN于点D,P为DC上的任意一点,若MN=20,AC=8,BD=6,则PA+PB的最小值是　　　　.ABCDOEPN图9MB′解析　因MN=20,故☉O的半径=10,连接OA、OB,在Rt△OBD中,OB=10,BD=6,所以OD=OB2-BD2=102-62=8.同理,在Rt△AOC中,OA=10,AC=8,故OC=OA2-AC2=102-82=6,CD=8+6=14.作点B关于MN的对称点B′,连接AB′,则AB′即为PA+PB的最小值,B′D=BD=6,过点B′作AC的垂线,交AC的延长线于点E,在Rt△AB′E中,因为AE=AC+CE=8+6=14,B′E=CD=14,所以AB′=AE2+B′E2=142+142=142.故答案为:142.评注　先由MN=20求出☉O的半径,再连接OA、OB,由勾股定理得出OD、OC的长,作点B关于MN的对称点B′,连接AB′,则AB′即为PA+PB的最小值,B′D=BD=6,过点B′作AC的垂线,交AC的延长线于点E,在Rt△AB′E中利用勾股定理即可求出AB′的值.本题考查的是轴对称———最短路线问题、垂径定理及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形,利用勾股定理求解是解答此题的关键.例9　(2013年六盘水)(1)观察发现如图10(1):若点A、B在直线m同侧,在直线m上找一点P,使AP+BP的值最小,做法如下:作点B关于直线m的对称点B′,连接AB′,与直线m的交点就是所求的点P,线段AB′的长度即为AP+BP的最小值.BAPB′m图（）101EPBCDA图（）102如图10(2):在等边三角形ABC中,AB=2,点E是AB的中点,AD是高,在AD上找一点P,使BP+PE的值最小,做法如下:作点B关于AD的对称点,恰好与点C重合,连接CE交AD于一点,则这点就是所求的点P,故BP+PE的最小值为　　　　.(2)实践运用如图10(3):已知☉O的直径CD为2,AC︵的度数为60°,点B是AC︵的中点,在直径CD上作出点P,使BP+AP的值最小,则BP+AP的最小值为　　　　.ABCODBADCP图（）103图（）104(3)拓展延伸如图10(4):点P是四边形ABCD内一点,分别在边AB、BC上作出点M、N,使PM+PN的值最小,保留作图痕迹,不写作法.EFPMNCDBAOEADCPB图（）3图（）4PEABPFBC