二次函数系数a、b、c与图像的关系

1二次函数系数a、b、c与图像的关系一、首先就y=ax2+bx+c（a≠0）中的a，b，c对图像的作用归纳如下：1a的作用：决定开口方向：a0开口向上；a0开口向下；决定张口的大小：∣a∣越大，抛物线的张口越小．2b的作用：b和a与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关．b与a同号，说明02ab，则对称轴在y轴的左边；b与a异号，说明−𝑏2𝑎0，则对称轴在y轴的右边；特别的，b=0，对称轴为y轴．3c的作用：c决定了抛物线与y轴的交点纵坐标．抛物线与y轴的交点（0，c）c0抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴；c0抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴；特别的，c=0，抛物线过原点．4a,b,c共同决定判别式∆=𝑏2−4𝑎𝑐的符号进而决定图象与x轴的交点𝑏2−4𝑎𝑐0与x轴两个交点𝑏2−4𝑎𝑐=0与x轴一个交点𝑏2−4𝑎𝑐0与x轴没有交点5几种特殊情况：x=1时，y=a+b+c；x=-1时，y=a-b+c．当x=1时，①若y0，则a+b+c0；②若y时0，则a+b+c0当x=-1时，①若y0，则a-b+c0；②若y0，则a-b+c0．扩：x=2,y=4a+2b+c；x=-2,y=4a-2b+c；x=3,y=9a+3b+c；x=-3,y=9a-3b+c。2反之，给我们相应的二次函数图象，我们可以得到其系数a,b,c以及它们组合成的一些关系结构（例如对称轴−b2a;判别式b2−4ac;y=a+b+c……等等）的符号二、经典例题讲解例1已知二次函数02acba的图像如图，则a、b、c满足（）A．a0，b0，c0；B．a0，b0，c0；C．a0，b0，c0；D．a0，b0，c0；例2（2015呼和浩特）如图，四个二次函数的图像中分别对应的是：①2a②2b③2c④2d，则a，b，c，d的大小关系是．A．abcdB．abdcC．bacdD．badc例3已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤4a-2b+c＜0，则正确的结论是（）A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤yxOxyO①②④③3练习1.（2015•重庆）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）A、a＞0B、b＜0C、c＜0D、a+b+c＞02.（2015•文山州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a，b，c满足（）A、a＜0，b＜0，c＞0，b2-4ac＞0B、a＜0，b＜0，c＜0，b2-4ac＞0C、a＜0，b＞0，c＞0，b2-4ac＞0D、a＞0，b＜0，c＞0，b2-4ac＞03.（2015•泸州）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＜0，②b2-4ac＞0，③a-b+c=0，④a+b+c＞0，其中正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、44.（2015•仙游县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．\其中所有正确结论的序号是（）A．③④B．②③C．①④D．①②③yxO45.（2011•雅安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（）A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤6.（2015•黔南州）如图所示为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，在下列选项中错误的是（）A、ac＜0B、x＞1时，y随x的增大而增大C、a+b+c＞0D、方程ax2+bx+c=0的根是𝑥1=-1，𝑥2=3能力提升1.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如下图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②a-b+c＞0；③2a+b=0；④b2-4ac＞0；⑤a+b+c＞m（am+b）+c（m＞1的实数），其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2.（2014•玉林一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．其中正确结论的个数是（）5A．1个B．2个C．3个D．4个3.（2015•天津）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b2-4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0其中，正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、44.如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2），且与x轴交点的横坐标为x1、x2，其中-2＜x1＜-1，0＜x2＜1，下列结论：①abc＞0；②4a-2b+c＜0；③2a-b＞0；④b2+8a＞4ac，正确的结论是