2019中考试题分类——解直角三角形

2019中考试题分类——解直角三角形注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！1.〔2018江苏苏州，26，8分〕如图，斜坡AB长60米，坡角〔即∠BAC〕为30°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体〔用阴影表示〕修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE.〔请将下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据〕.⑴假设修建的斜坡BE的坡角(即∠BAC)不大于45°,那么平台DE的长最多为▲米；⑵一座建筑物GH距离坡脚A点27米远〔即AG=27米〕，小明在D点测得建筑物顶部H的仰角(即∠HDM)为30°.点B、C、A、G、H在同一个平面上，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？30°30°HMGDEFCBA【答案】解：⑴11.0〔10.9也对〕.⑵过点D作DP⊥AC，垂足为P.在Rt△DPA中，，.在矩形DPGM中，，.在Rt△DMH中，.∴.答：建筑物GH高为45.6米.2、如图5，一天，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船，正在以12海里∕小时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60º方向航行，1.5小时后，在我领海区域的C处截获可疑渔船。问我渔政船的航行路程是多少海里？(结果保留根号)知识点考察：①解直角三角形，②点到直线的距离，③两角互余的关系④方向角，⑤特殊角的三角函数值。能力考察：①作垂线，②逻辑思维能力，③运算能力。分析：自C点作AB的垂线，垂足为D，构建Rt△ACD，Rt△BCD，再解这两个Rt△。解：自C点作AB的垂线，垂足为D，∵南北方向⊥AB，∴∠CAD=30º，∠CBD=45º在等腰Rt△BCD中，BC=12×1.5=18，∴CD=18sin45º=29，在Rt△ACD中，CD=AC×sin30º，∴AC=218〔海里〕答：我渔政船的航行路程是218海里。点评：解决问题的关键在于将斜三角形转化为两个直角三角形，而转化的关键又在于自C点作AB的垂线。3、(8分)某市正在进行商业街改造，商业街起点在古民居P的南偏西60°方向上的A处，现已改造至古民居P南偏西30°方向上的B处，A与B相距150m，且B在A的正东方向、为不破坏古民居的风貌，按照有关规定，在古民居周围100m以内不得修建现代化商业街、假设工程队继续向正东方向修建200m商业街到C处，那么对于从B到C的商业街改造是否违反有关规定？解：过点P作PD⊥BC，垂足为D、…1分在RtAPD中，60APD∴tan603,3ADADPDPD······3分在RtBPD中，30BPD∴3tan30,333BDBDPDPD··5分∴3ADBD，1502BD，∴75BD………6分∵33BDPD，∴753PD………7分∵753100，∴不违反有关规定、··················8分4、〔2018娄底〕如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG=30°，在E处测得∠AFG=60°，CE=8米，仪器高度CD=1.5米，求这棵树AB的高度〔结果保留两位有效数字，≈1.732〕、第23题图考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。分析：首先根据题意可得GB=EF=CD=1.5米，DF=CE=8米，然后设AG=x米，GF=y米，那么在Rt△AFG与Rt△ADG，利用正切函数，即可求得x与y的关系，解方程组即可求得答案、解答：解：根据题意得：四边形DCEF、DCBG是矩形，∴GB=EF=CD=1.5米，DF=CE=8米，设AG=x米，GF=y米，在Rt△AFG中，tan∠AFG=tan60°===，在Rt△ADG中，tan∠ADG=tan30°===，∴x=4，y=4，∴AG=4米，FG=4米，∴AB=AG+GB=4+1.5≈8.4〔米〕、∴这棵树AB的高度为8.4米、5、B港口位于A观测点北偏东53.2°方向，且其到A观测点正北方向的距离BD的长为16km，一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿如下图的BC方向航行，15min后达到C处，现测得C处位于A观测点北偏东79.8°方向，求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长(精确到0.1km，参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin79.8°≈0.98，cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50，2≈1.41，5≈2.24)考点：解直角三角形的应用-方向角问题。分析：根据在Rt△ADB中，sin∠DBA＝，得出AB的长，进而得出tan∠BAH＝，求出BH的长，即可得出AH以及CH的长，进而得出答案、解答：解：BC＝40×＝10，在Rt△ADB中，sin∠DBA＝，sin53.2°≈0.8，所以AB＝＝20，如图，过点B作BH⊥AC，交AC的延长线于H，在Rt△AHB中，∠BAH＝∠DAC－∠DAB＝63.6°－37°＝26.6°，tan∠BAH＝，0.5＝，AH＝2BH，BH2＋AH2＝AB2，BH2＋(2BH)2＝202，BH＝4，所以AH＝8，在Rt△BCH中，BH2＋CH2＝BC2，CH＝2，所以AC＝AH－CH＝8－2＝6≈13.4，答：此时货轮与A观测点之间的距离AC约为13.4km、点评：此题主要考查了解直角三角形中方向角问题，根据构造直角三角形得出BH的长是解题关键、6、〔2018•六盘水〕如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD=30°；小丽沿岸向前走30m选取点B，并测得∠CBD=60°、请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小丽计算小河的宽度、考点：解直角三角形的应用。专题：应用题。分析：先根据题意画出示意图，过点C作CE⊥AD于点E，设BE=x，那么在RT△ACE中，可得出CE，利用等腰三角形的性质可得出BC，继而在RT△BCE中利用勾股定理可求出x的值，也可得出CE的长度、解答：解：过点C作CE⊥AD于点E，由题意得，AB=30m，∠CAD=30°，∠CBD=60°，故可得∠ACB=∠CAB=30°，即可得AB=BC=30m，设BE=x，在Rt△BCE中，可得CE=x，又∵BC2=BE2+CE2，即900=x2+3x2，解得：x=15，即可得CE=15m、答：小丽自家门前的小河的宽度为15m、点评：此题考查了解直角三角形的应用，解答此题的关键是画出示意图，将实际问题转化为解直角三角形的问题，注意直角三角形的构造，难度一般、7〔2018攀枝花〕如图，我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A地观测到我渔船C在东北方向上的我国某传统渔场、假设渔政310船航向不变，航行半小时后到达B处，此时观测到我渔船C在北偏东30°方向上、问渔政310船再航行多久，离我渔船C的距离最近？〔假设我渔船C捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值、〕考点：解直角三角形的应用-方向角问题。分析：过点C作AB的垂线，设垂足为D、由题易知∠CAB=45°，∠CBD=60°、先在Rt△BCD中，得到CD=BD，再在Rt△ACD中，得到CD=AD，据此得出=，然后根据匀速航行的渔船其时间之比等于路程之比，从而求出渔船行驶BD的路程所需的时间、解答：解：作CD⊥AB于D、∵A地观测到渔船C在东北方向上，渔船C在北偏东30°方向上∴∠CAB=45°，∠CBD=60°、在Rt△BCD中，∵∠CDB=90°，∠CBD=60°，∴CD=BD、在Rt△ACD中，∵∠CDA=90°，∠CAD=45°，∴CD=AD，∴BD=AB+BD，∴==，∵渔政310船匀速航行，设渔政310船再航行t分钟，离我渔船C的距离最近，∴=，∴t=15〔+1〕、答：渔政310船再航行15〔+1〕分钟，离我渔船C的距离最近、点评：此题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确理解方向角的定义是解决此题的关键、8如图，水渠边有一棵大木瓜树，树干DO〔不计粗细〕上有两个木瓜A、B〔不计大小〕，树干垂直于地面，量得AB=2米，在水渠的对面与O处于同一水平面的C处测得木瓜A的仰角为45°、木瓜B的仰角为30°、求C处到树干DO的距离CO、〔结果精确到1米〕〔参考数据：〕（第19题解答图）解：设OC=x，在Rt△AOC中，∵∠ACO=45°，∴OA=OC=x，在Rt△BOC中，∵∠BCO=30°，∴OB=OC•tan30°=x，∵AB=OA﹣OB=x﹣x=2，解得x=3+≈3+1.73=4.73≈5米，∴OC=5米、答：C处到树干DO的距离CO为5米、9〔2018天门19、〔7分〕如图，飞机沿水平方向〔A，B两点所在直线〕飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN、飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离〔因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离〕，请设计一个求距离MN的方案，要求：〔1〕指出需要测量的数据〔用字母表示，并在图中标出〕；〔2〕用测出的数据写出求距离MN的步骤、解：此题为开放题，答案不惟一，只要方案设计合理，可参照给分⑴如图，测出飞机在A处对山顶的俯角为，测出飞机在B处对山顶的俯角为，测AB的距离为d，连接AM，BM、⑵第一步，在AMNRt中，ANMNtan∴tanMNAN第二步，在BMNRt中，BNMNtan(第19题图)∴tanMNBN其中BNdAN，解得tantantantandMN、10〔2017衢州〕在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C〔如图〕，那么，由此可知，B、C两地相距200m、考点：解直角三角形的应用-方向角问题。解答：解：由得：∠ABC=90°+30°=120°，∠BAC=90°﹣60°=30°，∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣120°﹣30°=30°，∴∠ACB=∠BAC，∴BC=AB=200、故答案为：200、11、〔2017台州〕丁丁想在一个矩形材料中剪出如图阴影所示的梯形，作为要制作的风筝的一个翅膀、请你根据图中的数据帮丁丁计算出BE、CD的长度〔精确到个位，≈1.7〕、考点：解直角三角形的应用。解答：解：由∠ABC=120°可得∠EBC=60°，在Rt△BCE中，CE=51，∠EBC=60°，因此tan60°=，∴BE===17≈29cm；在矩形AECF中，由∠BAD=45°，得∠ADF=∠DAF=45°，因此DF=AF=51，∴FC=AE≈34+29=63cm，∴CD=FC﹣FD≈63﹣51=12cm，因此BE的长度均为29cm，CD的长度均为12cm、12.〔2018内江〕〔9分〕水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD.如图9所示，迎水坡面AB的长为16米，060,B背水坡面CD的长为163米，加固后大坝的横截面积为梯形,ABEDCE的长为8米。（1）需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？（2）求加固后的大坝背水坡面DE的坡度。〔无答案〕13、〔2018广东〕如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα=，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB〔结果取整数：参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50〕、考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题。解答：解：∵在直角三角形ABC中，=tanα=，∴BC=∵在直角三角形ADB中，∴=tan26.6°=0.50即：BD=2AB∵BD﹣BC=CD=200∴2AB﹣AB=200解得：AB=300米，答：小山岗的高度为300米、〔2018浙江温州〕21.(此题9分)某海滨浴场东西走向的海岸线可以近似看作直线l(如图).救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的