搜索
---𝒚=𝒂(𝒙−𝒉)𝟐+𝒌主讲教师：覃玉林邮箱：871024847@qq.comPage2y＝ax2+Ka0a0图象开口对称性顶点增减性二次函数y=ax2+K的性质开口向上开口向下a的绝对值越大，开口越小关于y轴对称顶点是最低点，𝒚最小=𝒌顶点是最高点，𝒚最大=𝒌在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减K0K0K0K0(0,K)复习1Page3y＝a(x-ｈ)2a0a0图象开口对称性顶点增减性二次函数y=a（x-ｈ）2的性质开口向上开口向下a的绝对值越大，开口越小直线ｘ＝ｈ在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减h0h0h0h0(ｈ,0)复习2顶点是最低点，𝒚最小=𝟎顶点是最高点，𝒚最大=𝟎Page4画出函数y=−𝟏𝟐𝒙+𝟏𝟐−𝟏的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点。怎样移动抛物线y=−𝟏𝟐𝒙𝟐就可以得到抛物线y=−𝟏𝟐𝒙+𝟏𝟐−𝟏？Page512345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10x=－1解:先列表，再描点，后连线。得到抛物线𝐲=−𝟏𝟐𝒙+𝟏𝟐−𝟏的图像如下图所示。对称轴是直线x=－1,顶点是(－1,－1).(1)抛物线𝐲=−𝟏𝟐𝒙+𝟏𝟐−𝟏开口方向向下，x…-4-3-2-1012………y=−𝟏𝟐𝒙+𝟏𝟐−𝟏-5.5-3-1.5-1-3-1.5-5.5y=−𝟏𝟐𝒙+𝟏𝟐−𝟏向左平移1个单位向下平移1个单位向左平移1个单位向下平移1个单位平移方法1:平移方法2:12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10直线x=－1(2)抛物线𝐲=−𝟏𝟐𝒙+𝟏𝟐−𝟏与抛物线𝐲=−𝟏𝟐𝑥𝟐有什么关系?𝒚=−𝟏𝟐𝒙𝟐𝒚=−𝟏𝟐𝒙𝟐-1𝐲=−𝟏𝟐𝒙+𝟏𝟐−𝟏𝐲=−𝟏𝟐𝒙+𝟏𝟐−𝟏𝐲=−𝟏𝟐𝒙+𝟏𝟐𝐲=−𝟏𝟐𝑥𝟐𝐲=−𝟏𝟐𝒙+𝟏𝟐−𝟏(2)把抛物线抛物线𝐲=−𝟏𝟐𝒙𝟐向下（左）平移1个单位长度，再向左（下）平移1个单位长度，就得到抛物线𝐲=−𝟏𝟐𝒙+𝟏𝟐−𝟏。Page7向右(左)平移|h|个单位向上(下)平移|k|个单位y=ax2y=a(x－h)2y=a(x－h)2+ky=ax2y=a(x－h)2+k向上(下)平移|k|个单位y=ax2+k向右(左)平移|h|个单位平移方法:倍速课时学练一般地，抛物线𝒚=𝒂(𝒙−𝒉)𝟐+𝒌与抛物线y=ax2形状______，位置不同，把抛物线y=ax2向上（下）向左（右）_______，可以得到抛物线平移的方向、距离要根据_________的值来决定．抛物线有如下特点：（1）当a0时，开口______；当a0时，开口_______；（2）对称轴是______；（3）顶点坐标是_________相同平移h，k向上向下直线x=h（h,k)𝒚=𝒂(𝒙−𝒉)𝟐+𝒌𝒚=𝒂(𝒙−𝒉)𝟐+𝒌倍速课时学练（4）如果a0，当xh时，y随x的增大而，当xh时,y随x的增大而；如果a0,当xh时，y随x的增大而，当xh时,y随x的增大而。减小减小增大增大Page10P37练习说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：（1）y=2(x+3)2+5;（2）y=－3(x－1)2－2;（3）y=4(x－3)2+7;（4）y=－5(x+2)2－6.解：（1）a=20开口向上，对称轴为直线x=－3，顶点坐标为（－3，5）;（2）a=－30开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1,－2）;（3）a=40开口向上，对称轴为直线x=3，顶点坐标为（3,7）;（4）a=－50开口向下，对称轴为直线x=－2，顶点坐标为（－2,－6）.二次函数开口方向对称轴顶点坐标y=2(x+3)2+5向上(1,－2)向下向下(3,7)(2,－6)向上直线x=－3直线x=1直线x=3直线x=2(－3,5)y=－3(x－1)2－2y=4(x－3)2＋7y=－5(2－x)2－61.完成下列表格:2.请回答抛物线y=4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到?3.抛物线y=－4(x－3)2＋7能够由抛物线y=4x2平移得到吗?Page12y=−2（x+3）2-24、画出下列函数图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点，最大值或最小值各是什么及增减性如何？。y=2（x-3）2+3y=−2（x-2）2-1y=3（x+1）2+1C(3,0)B(1，3)例4.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?AxOy123123解:如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立直角坐标系.点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.因此可设这段抛物线对应的函数是∵这段抛物线经过点(3,0)∴0=a(3－1)2＋3解得:因此抛物线的解析式为:y=a(x－1)2＋3(0≤x≤3)当x=0时,y=2.25答:水管长应为2.25m.34a=－y=−𝟑𝟒(𝒙−𝟏)𝟐+𝟑(0≤x≤3)（1）抛物线y=a(x+2)2-3经过点（0，0），则a=。（2）设抛物线的顶点为（1，-2），且经过点（2，3），求它的解析式。（3）抛物线y=3x2向右平移3个单位再向下平移2个单位得到的抛物线是。（4）抛物线y=2(x+m)2+n的顶点是。𝟑𝟒𝒚=𝟓（𝒙−𝟏)𝟐−𝟐𝒚=𝟑（𝒙−𝟑)𝟐−𝟐(-m,n)二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质抛物线顶点坐标对称轴开口方向增减性最值y=a(x-h)2+k(a0)y=a(x-h)2+k(a0)（h，k）（h，k）直线x=h直线x=h向上向下当x=h时,最小值为k.当x=h时,最大值为k.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.复习1数学课本第41页习题22.15.(2)并说一说它们与抛物线𝐲=−𝟏𝟒𝒙𝟐有什么关系？（3）并说一说它们与抛物线𝐲=𝟏𝟐𝒙𝟐有什么关系？独立作业知识的升华祝你成功！下课啦!Oxy1234512345–5–4–3–2–1–5–4–3–2–1y=2x2y=2(x–1)2y=2(x–1)2+1x-3-2-10123y=2x2…82028…y=2(x-1)2……82028y=2(x-1)2+1……93139引申：在同一坐标系内画出y=2x2、y=2(x-1)2、y=2(x-1)2+1的图象Oxy1234512345–5–4–3–2–1–5–4–3–2–1观察y=𝟏𝟐𝒙𝟐𝒚=𝟏𝟐(𝒙+𝟐）𝟐+𝟐y=𝟏𝟐(𝒙+𝟐)𝟐−𝟑的图像x=-2(-2,2)(-2,-3)y=𝟏𝟐𝒙𝟐𝒚=𝟏𝟐(𝒙+𝟐）𝟐+𝟐y=𝟏𝟐(𝒙+𝟐)𝟐−𝟑抛物线顶点坐标对称轴开口方向增减性最值（-2，2）（2，-3）直线x=-2直线x=2向上向下当x=-2时,最小值为2当x=2时,最大值为-3在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.𝐲=𝟏𝟐(𝒙+𝟐)𝟐−𝟑𝒚=𝟏𝟐(𝒙+𝟐）𝟐+𝟐谁可以写出下列条件的函数解析式？函数解析式开口对称轴顶点坐标向上直线x=3(3,–5)向下直线x=–1(–1,0)向下直线x=0(0,–1)向上直线x=2(2,5)向上直线x=–4(–4,2)向下直线x=3(3,0)y=𝟐(𝒙−𝟑)𝟐−𝟓y=−𝟐(𝒙+𝟏)𝟐y=−𝟐𝒙𝟐−𝟏y=𝟐(𝒙−𝟐)𝟐+𝟓y=𝟐(𝒙+𝟒)𝟐+𝟐y=𝟐(𝒙−𝟑)𝟐1．抛物线的上下平移（1）把二次函数y=(x+1)2的图像，沿y轴向上平移３个单位，得到_____________的图像；（2）把二次函数_____________的图像，沿y轴向下平移2个单位，得到y=x2+1的图像.考考你学的怎么样：y=(x+1)2+3y=x2+32．抛物线的左右平移（1）把二次函数y=(x+1)2的图像，沿x轴向左平移３个单位，得到_____________的图像；（2）把二次函数_____________的图像，沿x轴向右平移2个单位，得到y=x2+1的图像.y=(x+4)2y=(x+2)2+13．抛物线的平移：（1）把二次函数y=3x2的图像，先沿x轴向左平移３个单位，再沿y轴向下平移2个单位，得到_____________的图像；（2）把二次函数_____________的图像，先沿y轴向下平移2个单位，再沿x轴向右平移3个单位，得到y=-3(x+3)2－2的图像.y=3(x+3)2-2y=-3(x+6)24.抛物线y=𝟏𝟐(𝒙+𝟏)𝟐顶点坐标是？6.抛物线y=𝟏𝟐(𝒙+𝟏)𝟐的对称轴是_____.(-1,0)5.抛物线y=𝟏𝟐(𝒙+𝟏)𝟐向上平移3个单位后，顶点的坐标是________；(-1,3)x=-17．把二次函数y=4(x－1)2的图像,沿x轴向_平移__个单位，得到图像的对称轴是直线x=3.8．把抛物线y=－3(x+2)2，先沿x轴向右平移2个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得到_____________的图像．9．把二次函数y=－2x2的图像，先沿x轴向左平移３个单位，再沿y轴向下平移2个单位，得到图像的顶点坐标是______．右2y=-3x2-1(-3,-2)10、试分别说明将抛物线的图象通过怎样的平移得到y=x2的图象：(1)y=(x-3)2+2；(2)y=(x+4)2－511.与抛物线y=－4x2形状相同，顶点为（2，-3）的抛物线解析式为．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位先向右平移4个单位，再向上平移5个单位y=-4(x-2)2-3或y=4(x-2)2-312.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示（1）求解析式(1,-1)(0,0)(2,0)当x时，y﹤0。当x时，y=0;（2）根据图象回答：当x时，y0;解：∵二次函数图象的顶点是(1,-1)，∴设抛物线解析式是y=a(x-1)2-1，∵其图象过点(0,0)，∴0=a(0-1)2-1，∴a=1∴y=(x-1)2-1x0或x20x2x=0或2