三角形面积公式——之水平宽铅垂高(叶茂恒)

1三角形面积公式之水平宽铅垂高三角形的面积公式计算较多，而在平面直角坐标系中的三边都不与坐标轴平行的三角形面积一般会采用割补形来求解，但有时采用水平宽铅垂高面积公式会更加的方便.公式呈现如右图所示，过△ABC三个顶点分别作x轴的垂线，其中过A，C两条垂线与x轴交于点E，F，线段EF的长度称为△ABC的水平宽，而过B点的垂线与边AC交于点D，线段BD的长度称为铅垂高，则S△ABC＝12EFBD，此即为三角形水平宽铅垂高面积公式，其中水平宽EF通常取最外两条垂线的宽度，对应铅垂高取经过夹在中间的顶点（B）与边（AC）交点（D）之间的距离.公式推导如右图，过点A，C作铅垂高BD上的高AG，CH，则有S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝1122AGBDCHBD＝12AGCHBD＝12EFBD.公式应用1——上下垂线例1（适合八年级）如图，已知边长为a的正方形EABCD,为AD的中点，P为CE的中点，F为BP的中点，则△BFD的面积是（）.A.281aB.2161aC.2321aD.2641a说明：本题可以连结CF，由△BCD的面积减去△BCF与△CDF的面积求解，也可以建立平面直角坐标系，利用三角形水平宽铅垂高面积公式求得.xy铅垂高水平宽FEDOACBxyHGFEDOACBFPECDBA2解析：不妨以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立平面直角坐标系，则点C坐标为（a，0），点D坐标为（a，a），∵E为AD的中点，∴点E坐标为（12a，a），∵P为CE的中点，∴点P坐标为（34a，12a），∵F为BP的中点，∴点F坐标为（38a，14a）.过F点作BC的垂线交BD于点G，则点G的横坐标为38a，又直线BD的解析式为yx，∴点G的纵坐标为38a，∴△BDF的铅垂高FG＝38a－14a＝18a，∴S△BDF＝2111122816BCFGaaa.公式应用2——左右垂线例2（适合八年级）如图，直线313yx与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，且∠BAC=90°.如果在第二象限内有一点P1,2a，且△ABP的面积与Rt△ABC的面积相等，求a的值.说明：本题常见解法有三，一是连结OP，△ABP的面积＝△AOB面积+△BOP面积－△AOP面积，然后用a的代数式表示，与Rt△ABC的面积相等列方程求解；二是将点C沿AB翻折到C’位置，则△ABC面积与△ABC’面积相等，若△ABP的面积与Rt△ABC的面积xyPCBAOxyGO（B）FPECDAxyPCBAOxyPC'CBAO3相等，则可得PC’//AB，因此，可以由点A，C坐标先求C’坐标，再根据AB的斜率与点C’坐标求直线PC’的解析式，将点P纵坐标代入，即可求a的值.三是考虑水平宽铅垂高公式来计算，但如果从A，B，P三点向x轴作垂线，较为复杂，不妨换个角度应用公式，即从A，B，P向y轴作垂线（即左右方向作垂线），仿公式求解.现解析如下.解析：过A，B，P三点作y轴的垂线，则OB可以看成公式中的水平宽，而PE可以看成公式中的铅垂高，（不习惯的同学可以将屏幕或头转个90度）由AB的解析式可以得OA＝3，OB＝1，而P的纵坐标为12，所以E为AB的中点，所以PE＝-a+32，从而有113221222a，解得342a.公式应用3——内外垂线从例2可以看到，三条垂线不一定作向x轴，也可以作向y轴，仿公式用即可.一般地，水平宽取的是最外的两条直线的距离，但这个做法不是绝对的，有时根据需要也可以取任意两条直线的宽度，则公式可以变化为：S△ABC＝12EFCG.简单推导：S△ABC＝S△ACG－S△BCG＝1122CGEHCGFH＝12EFCG.说明：当取相邻两条垂线距离为水平宽时，第三条垂线将与第三边（AB）的延长线相交，此时顶xyEPCBAOxy铅垂高水平宽GFHEDOACB4点（C）到交点（G）的距离为铅垂高（CG）.例3（适合九年级）如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B，C和D（3，0）．（1）求直线BD和抛物线的解析式．（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N，B，D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（4）点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点Q使得CQBQ的值最大，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.解析：本题只解（3），由已知条件可以得抛物线解析式为243yxx，BD解析式为3yx，由于问题中并未交待P点在BD的上方或下方，故要分类讨论：当P在BD下方时，如右上图，水平宽为OD＝3，铅垂高为PE＝224333xxxxx；当P在BD上方时，P可能在左，也可以在右，但两者本质相同，如右下图，此时依然取OD＝3为水平宽，则铅垂高PE＝223433xxxxx.两种情况合起来就是213362xx，即234xx.当234xx时，方程无实数根，即P在BD下方时，不可能面积为6；xyEDBACOPxyEDBCOP5当234xx时，解得121,4xx，即当P（－1，8）或P（4，3）时，S△PBD=6.解后：从以上几例可以看到，灵活运用水平宽与铅垂高公式，可以有效解决三角形面积问题，尤其是在例3，可以将P点的两种不同的位置分类统一为PE长（绝对值）问题求解，可以有效回避原本点P在BD上方时，几何法要构造高等繁杂作法，使得问题解决简洁而快捷.老叶2015年1月26日记于温十七中