双曲线的定义及标准方程

双曲线的定义及标准方程知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)，则点的轨迹叫双曲线.这两个叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a0，c0：(1)若时，则集合P为双曲线；(2)若a＝c时，则集合P为；(3)若时，则集合P为空集.定点两条射线acac2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R对称性对称轴：；对称中心：顶点A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±bax离心率e＝，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝x∈R，y≤－a或y≥a坐标轴原点A1(－a，0)，A2(a，0)y＝±abxcaa2＋b2共轭双曲线共轭双曲线是以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，也可以看做把原方程中的正负号交换了位置后得到的新方程。12222byax的共轭双曲线为22221yxba等轴双曲线实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，其离心率为e＝____，渐近线方程为________.2y＝±x共渐近线系双曲线方程跟踪训练1(1)(2015·课标全国Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y＝±12x，则该双曲线的标准方程为________．(2)(2016·河南郑州二模)经过点(2，1)，且渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切的双曲线的标准方程为()A.x2113－y211＝1B.x22－y2＝1C.y2113－x211＝1D.y211－x2113＝1【答案】(1)x24－y2＝1(2)A考点一双曲线的定义及应用【例1】(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________.(2)已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为____________.解析(1)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1).(2)如图所示，设双曲线的右焦点为E，则E(4，0).由双曲线的定义及标准方程得|PF|－|PE|＝4，则|PF|＋|PA|＝4＋|PE|＋|PA|.由图可得，当A，P，E三点共线时，(|PE|＋|PA|)min＝|AE|＝5，从而|PF|＋|PA|的最小值为9.答案(1)x2－y28＝1(x≤－1)(2)9规律方法双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|，|PF2|的联系.【训练1】(1)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝()A.14B.35C.34D.45(2)设椭圆C1的离心率为513，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为()A.x242－y232＝1B.x2132－y252＝1C.x232－y242＝1D.x2132－y2122＝1解析(1)由x2－y2＝2，知a＝b＝2，c＝2.由双曲线定义，|PF1|－|PF2|＝2a＝22，又|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝42，|PF2|＝22，在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝34.(2)由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5，0)，F2(5，0)，设曲线C2上的一点P，则||PF1|－|PF2||＝8＜10＝|F1F2|.由双曲线的定义知曲线C2为双曲线且a＝4，b＝3.故曲线C2的标准方程为x242－y232＝1.答案(1)C(2)A考点二双曲线的标准方程的求法【例2】(1)过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A.x24－y212＝1B.x27－y29＝1C.x28－y28＝1D.x212－y24＝1(2)(2016·沈阳四校联考)设双曲线与椭圆x227＋y236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是________.解析(1)由双曲线方程知右顶点为(a，0)，不妨设其中一条渐近线方程为y＝bax，因此可得点A的坐标为(a，b).设右焦点为F(c，0)，由已知可知c＝4，且|AF|＝4，即(c－a)2＋b2＝16，所以有(c－a)2＋b2＝c2，又c2＝a2＋b2，则c＝2a，即a＝c2＝2，所以b2＝c2－a2＝42－22＝12.故双曲线的方程为x24－y212＝1，故选A.(2)法一椭圆x227＋y236＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，法二椭圆x227＋y236＝1的焦点坐标是(0，±3).设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，则a2＋b2＝9，又点(15，4)在双曲线上，所以16a2－15b2＝1，解得a2＝4，b2＝5.故所求双曲线的方程为y24－x25＝1.法三设双曲线的方程为x227－λ＋y236－λ＝1(27λ36)，由于双曲线过点(15，4)，故1527－λ＋1636－λ＝1，解得λ1＝32，λ2＝0(舍去).故所求双曲线方程为y24－x25＝1.答案(1)A(2)y24－x25＝1规律方法求双曲线标准方程的一般方法：(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a、b、c的方程并求出a、b、c的值与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0).(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.【训练2】(1)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为()A.x29－y213＝1B.x213－y29＝1C.x23－y2＝1D.x2－y23＝1(2)(2016·郑州质量预测)已知双曲线的一个焦点与抛物线x2＝24y的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的标准方程为()A.x29－y227＝1B.y29－x227＝1C.y212－x224＝1D.y224－x212＝1解析(1)由题意知，双曲线的渐近线方程为y＝±bax，即bx±ay＝0，因为双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，所以|2b|a2＋b2＝3，由双曲线的一个焦点为F(2，0)可得a2＋b2＝4，所以|b|＝3，即b2＝3，所以a2＝1，故双曲线的方程为x2－y23＝1，故选D.(2)∵x2＝24y，∴焦点为(0，6)，∴可设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0).∵渐近线方程为y＝±abx，其中一条渐近线的倾斜角为30°，∴ab＝33，c＝6，∴a2＝9，b2＝27.其方程为y29－x227＝1.答案(1)D(2)B