排列组合与二项式定理精华总结

排列组合知识点一、两个原理.1.乘法原理、加法原理：分类相加，分步相乘。二、排列：元素是有顺序的（1）：对排列定义.：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.（2）：排列数公式：),,()!(!)1()1(NmnnmmnnmnnnAm注意：!)!1(!nnnn规定0!=1111mnmnmnmmmnmnmAACAAA11mnmnnAA规定10nnnCC（3）：含有可重元素．．．．．．的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,…...an其中有限重复数为n1、n2……nk，且n=n1+n2+……nk,则S的排列个数等于!!...!!21knnnnn.三、组合：元素没有顺序之分（1）：组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.（2）：组合数公式：)!(!!!)1()1(mnmnCmmnnnAACmnmmmnmn（3）：两个性质：①;mnnmnCC②mnmnmnCCC11（4）：常用的证明组合等式方法例.i.裂项求和法.如：)!1(11)!1(!43!32!21nnn（利用!1)!1(1!1nnnn）ii.导数法.iii.数学归纳法.iv.倒序求和法.v.递推法（即用mnmnmnCCC11递推）如：413353433nnCCCCC.vi.构造二项式.如：nnnnnnCCCC222120)()()(证明：这里构造二项式nnnxxx2)1()1()1(其中nx的系数，左边为22120022110)()()(nnnnnnnnnnnnnnnnCCCCCCCCCCC，而右边nnC2四、排列、组合综合（1）直接法（2）间接法（3）捆绑法（4）插空法（5）占位法（6）调序法（7）平均法（8）隔板法（9）定位问题（10）指定元素排列组合问题五、二项式定理.1.⑴二项式定理：nnnrrnrnnnnnnbaCbaCbaCbaCba01100)(.展开式具有以下特点：项数：共有1n项；系数：依次为组合数;,,,,,,210nnrnnnnCCCCC每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开.⑵二项展开式的通项.nba)（展开式中的第1r项为：),0(1ZrnrbaCTrrnrnr.⑶二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；②二项展开式的中间项二项式系数最大.I.当n是偶数时，中间项是第12n项，它的二项式系数2nnC最大；II.当n是奇数时，中间项为两项，即第21n项和第121n项，二项式系数2121nnnnCC最大.③系数和：1314201022nnnnnnnnnnnCCCCCCCC例题释疑1：由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（A）72（B）96（C）108（D）1442：现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是A．152B.126C.90D.543：将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为A.18B.24C.30D.364：2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A.60B.48C.42D.365：名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（A）8289AA（B）8289AC（C）8287AA（D）8287AC6：n个元素全排列，其中m个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？7：平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有kknnnnknknACCC)1(.例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有3!224C（平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将20名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？:（!2/102022818CCCP）8：隔板法：常用于解正整数解组数的问题.（即共有多少组解）例如：124321xxxx的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,,,xxxx显然124321xxxx，故（4321,,,xxxx）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解),,,(4321yyyy，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应.即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C9：定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有rkrnrrAA.10：组合问题中分组问题和分配问题（1）均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为rrAA/（其中A为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有K组均匀分组应再除以kkA.例：10人分成三组，各组元素个数为2、4、4，其分法种数为1575/224448210ACCC.若分成六组，各组人数分别为1、1、2、2、2、2，其分法种数为44222224262819110/AACCCCCC（2）均匀编号分组：n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为mmrrAAA/.例：10人分成三组，人数分别为2、4、4，参加三种不同劳动，分法种数为33224448210AACCC（3）非均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间顺序，不管是否分尽，其分法种数为1mnCA21mm-nC…km)m...m(m-n1-k21C例：10人分成三组，每组人数分别为2、3、5，其分法种数为25205538210CCC若从10人中选出6人分成三组，各组人数分别为1、2、3，其分法种数为126003729110CCC.（4）非均匀编号分组:n个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为mmAA例：10人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法为：335538210ACCC种.x1x2x3x4二项式一般来说babyaxn,()(为常数）在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求解.当11ba或时，一般采用解不等式组11111(,kkkkkkkkkkTAAAAAAAAA为或的系数或系数的绝对值）的办法来求解.如何来求ncba)(展开式中含rqpcba的系数呢？其中,,,Nrqp且nrqp把nncbacba])[()(视为二项式，先找出含有rC的项rrnrnCbaC)(，另一方面在rnba)(中含有qb的项为qpqrnqqrnqrnbaCbaC，故在ncba)(中含rqpcba的项为rqpqrnrncbaCC.其系数为rrqpnpnqrnrnCCCpqrnqrnqrnrnrnCC!!!!)!(!)!()!(!!.1：设则中奇数的个数为（）A．2B．3C．4D．52：在的展开式中，含的项的系数是（A）-15（B）85（C）-120（D）2743：nnnnnnCCCC1321393等于（）A.n4B.n43C.134nD.314n4：若n为奇数，则777712211nnnnnnnCCC被9除得的余数是（）A.0B.2C.7D.888018(1),xaaxax0,18,,aaa)5)(4)(3)(2)(1(xxxxx4x练习题1．（2010全国一）如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A．96B．84C．60D．482.（2011安徽）12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是()A．B．C．D．3.（2008湖北）将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为A.540B.300C.180D.1504.（2009福建）某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为A.14B.24C.28D.485．（2007福建）某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“”到“”共个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“”或“”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．6．（2011山东）已知集合A=｛5｝,B=｛1,2｝,C=｛1,3,4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为(A)33(B)34(C)35(D)367．（2006天津）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A．10种B．20种C．36种D．52种8.(湖北省八校高2008第二次联考)某电视台连续播放6个广告，其中有三个不同的商业广告，两个不同的奥运宣传广告，一个公益广告.要求最后播放的不能是商业广告，且奥运宣传广告与公益广告不能连续播放，两个奥运宣传广告也不能连续播放，则不同的播放方式有（）A．48种B．98种C．108种D．120种9.(河南省濮阳市2008年高三摸底考试)设有甲、乙、丙三项任务，甲需要2人承担，乙、丙各需要1人承担，现在从10人中选派4人承担这项任务，不同的选派方法共有()A．1260种B．2025种C．2520种D．5040种10.已知（2ix+21x）n,i是虚数单位，x∈R,n∈N。（1）如果展开式的倒数第三项的系数是-180，求n;（2）对（1）中的n，求展开式中系数为正实数的项。21.已知f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m,n∈N)的展开式中的x系数为19。（1）求f(x)展开式中x2项系数的最小值；（2）当x2项系数最小时，求f(x)展开式中x7项的系数。ABCD，，，2283CA2686CA2286CA2285CA0000999910000472000409659048320DBCA