高考第一轮复习——排列组合与二项式定理(理)

第1页年级高三学科数学版本通用版课程标题高考第一轮复习——排列组合与二项式定理编稿老师胡居化一校林卉二校李秀卿审核王百玲一、学习目标：1.理解排列、组合的有关概念，排列与组合的区别及分步计数原理和分类计数原理的含义。2.掌握排列数、组合数的公式及排列与组合的性质，并能进行简单的计算和解决简单的实际问题。3.理解二项式定理的内容、其通项公式的概念及其简单的应用。4.体会方程的数学思想、等价转化的数学思想、化归与类比的数学思想、分类讨论的数学思想及赋值法、待定系数法等数学思想方法的应用。二、重点、难点：重点：（1）排列、组合的知识及两个原理的简单应用（2）二项式定理的简单应用难点：利用排列与组合的知识解决实际问题。三、考点分析：新课标高考对排列、组合及二项式定理的考查以基础知识为主，应重点理解排列、组合及二项式定理的有关概念、简单的运算。考查的题型以选择、填空题为主，题目难度较小，易得分。一、两个原理，排列、组合的有关基础知识：1.分类计数原理与分步计数原理：（1）分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类方法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N种不同的方法，即N=nmmm21.（2）分步计数原理：做一件事情，完成它需要n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N种不同的方法。即N=nmmm212.排列的有关基础知识（1）排列的定义：一般地，从n个不同的元素中取出m（)nm个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。注：（i）排列的定义中包括两个基本内容：一是取出元素，二是按一定的顺序排列。（ii）当且仅当元素完全相同，排列顺序完全相同的两个排列是同一排列。（2）排列数及排列数公式：排列数：从n个不同的元素中取出m（)nm个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号mnA表示。第2页公式：（i）)1()3)(2)(1(mnnnnnAmn，（),,Nnmnm且当n=m时，123)3)(2)(1(!nnnnnAmn，规定：1!0（ii）mnA)!(!mnn，（),,Nnmnm且注：公式（i）适用于具体的计算以及解m较小时的含有排列的方程与不等式。公式（ii）适用于排列数的有关证明及解方程、不等式等。（3）排列数的性质：（i）,11mnmnnAA（ii）mnmnmnAmAA1113.组合的有关基础知识（1）组合的定义：一般地，从n个不同的元素中取出m（)nm个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合。组合的定义中包含两个内容：一是取出元素，二是并成一组。（i）当两个组合的元素完全相同时，不论元素的顺序如何，都是相同的组合。（ii）区分排列与组合的重要标志：排列有序，组合无序。（2）组合数及组合数公式：组合数：从n个不同元素中取出m（)nm个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号mnC表示。公式：)!(!!!)1()3)(2)(1(mnmnmmnnnnnAACmmmnmn（3）组合数的性质：（i）mnnmnCC（ii）11mnmnmnCCC注：（i）pnmpmCCpnmn或，（ii）当2nm时，常用mnnmnCC计算较简便。4.利用排列、组合的知识解决实际问题的常用方法（1）直接法：从问题的正面入手，其基本方法有（i）元素分析法：即以元素为主，优先考虑特殊元素的要求，再考虑其他元素。（ii）位置分析法：即以位置为主，优先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置。（2）间接法：就是剔除不符合条件的情况，也叫排除法。在直接法和间接法中常用以下方法解决排列与组合的问题。（a）枚举法：将所有排列的情形一一列举出来（适用于排列数较少的问题）（b）捆绑法：适用于两个（或更多）元素排在一起（看成一个元素）的问题。（c）插空法：适用于两个（或更多）元素不相邻排列的问题。（d）隔板法：适用于相同的元素分成若干部分，每部分至少有一个排列的问题。（3）某些元素定序排列问题的处理方法——倍缩法对某些元素定序排列问题的处理方法有两种：（i）整体法，即有（m+n）个元素排成一列，其中m个元素的排列顺序不变，将（m+n）个元素排成一列有nmnmA种排法，然后任取一个排列，固定其他的n个元素的位置不动，把m个元素交换顺序，共有mmA种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有mmnmnmAA种不同的排法。（ii）逐步插空法。（4）分组、分配问题的处理方法（i）分组问题：将n个不同元素按要求分成m组,称为分组问题分组问题的处理途径：（a）非均匀不编号分组：即将n个不同的元素分成m组，每组元素中的个数均不同（m组中元素的个数分别是maaa,,,21，其中naaam21），则分法种数是mmaaaananCCC211第3页（b）均匀不编号分组（平均分组）：将n个不同的元素平均分成m组（每组元素中的个数相同，都是a），则不同的分组方法有mmaaaananACCC，（其中n=ma）（ii）分配问题：将n个不同的元素按要求分给m个人，称为分配问题，处理分配问题的方法：先分组后分配。二、二项式定理的有关知识1.二项式定理：nnnrrnrnnnnnnnnbCbaCbaCbaCaCba222110)(，这个公式表示的规律叫二项式定理。（1）nba)(的二项展开式的特点：（i）展开式共有n+1项；（ii）各项的次数之和等于n；（iii）a的次数由n降到0，b的次数由0升到n。（2）二项展开式的系数：),,0(NnNrnrCrn（3）二项展开式的通项公式：rrnrnrbaCT1，（r=0，1，2n）表示二项展开式的第（r+1）项。注：（i）nba)(的二项式展开式的第（r+1）项rrnrnbaC与二项式的（b+a）n展开式的第（r+1）项rrnrnabC是有区别的，应用时a，b不能随便交换位置。（ii）二项展开式的系数rnC与展开式中的对应项的系数不一定相等，二项展开式的系数rnC恒为正，而某对应项的系数可以是任意的实数。（iii）二项式nba)(的展开式的通项公式是rrnrnrrbaCT)1(1，各项的二项式系数是rnC，各项的系数是rnrC)1(2.二项式定理的应用：（1）进行近似计算；（2）证明整除或求余数问题；（3）证明有关的不等式。3.二项式系数的性质：（1）rnrnrnCCC11（组合性质（ii）的体现）。（2）mnnmnCC（与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即对称性）。（3）增减性：当21nk时，二项式系数knC是逐渐增大的；当21nk时，二项式系数knC是逐渐减小的。（4）最大二项式系数：当n是偶数时，（n+1）是奇数，展开式共有（n+1）项，故展开式中间一项的二项式系数最大，即第（)12n项的二项式系数最大，最大的二项式系数是2nnC；当n为奇数时，（n+1）是偶数，展开式共有（n+1）项，故展开式中间有两项的二项式系数最大，即第）项（项121,21nn的二项式系数最大，这两项的二项式系数相等且最大，为21121nnnnCC。（5）（i）二项式的系数和是nnnnnnnCCCC22210，即，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即131202nnnnnCCCC（ii）二项展开式各项的系数和：一般地，设f（x）=nnxaxaxaa2210的各项的系数和是f（1），其中x的奇次项的系数和等于)],1()1([21ffx的偶次项的系数和等于)]1()1([21ff。第4页知识点一：两个原理及排列、组合知识的简单应用例1.基础题1.已知集合M={－3，－2，－1，0，1，2}，P（a，b）表示平面内的点，其中Mba,，则P可以表示平面内______个第二象限内的点。2.数列}{na共有6项，其中四项为1，其余两项不相同，则满足上述条件的数列}{na有___个。3.____________111212322nAAA。思路分析：1.首先注意到第二象限内坐标的特点是：a0，b0，同时坐标轴上的点不属于任一象限，再根据分步计数原理求解。2.在数列}{na中，只需考虑不同的两项的位置，6个位置（数列{an}共有6项）中可以选2个位置，并且是有序的，属排列问题。3.111)1(1121nnnnAn，故可利用裂项法求和。解题过程：1.根据第二象限内坐标的特点：a0，b0知：a从－3，－2，－1中选一个数，有3种选法。b只能从1，2中选一个数，有2种选法，故有623种选法，即P可以表示平面内6个第二象限内的点。2.如图，数列{an}的6项占6个位置，则不同的两项所占的位置可从6个位置中选2个位置，且有序，故有：3026A种，即满足上述条件的数列{an}有30个。3.111)1(1121nnnnAn，212322111nAAA)111()3121()211(nn=1111nnn解题后的思考：本例以两个原理是排列与组合的基础为切入点，重点考查了分类讨论的数学思想，考查的题型一般是选择与填空题，在讨论各种情形时要注意做到不重不漏。例2.中等题1.如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A，B，C，D，E染上红、黄、绿三种颜色中的一种，相邻顶点的颜色不同，则不同的染色方法有___________种。CDBEA第5页2.2010年上海世博会上从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加世博园区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案有________种。3.2010年的广州亚运会组委会从小张、小赵、小李、小罗、小王5名志愿者中选派4人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同的工作，其中小张、小赵只能从事前两项工作，其余三人均可从事这四项工作，则不同的选派方案有_________种。思路分析：1.用三种颜色给5个顶点涂色，可将5个顶点分成三组，即2，2，1模型，然后涂色。2.先选后排，即先选人，再安排工作。从7人中选6人有67C种选法，再把选出的6人平均分为2组，每组3人，然后把这2组人安排在周六、周日两天参加活动。3.由于5人中只选4人，故小张和小赵被选中有两种可能：一是小张和小赵只有一人入选，二是小张和小赵都入选，再利用分类计数原理求解。解题过程：1.第一步：将5个顶点分为三组：其中两组有2个顶点，一组有1个顶点。即2，2，1模型。共有15C种分法（即从5个顶点中任取一个顶点有515C种，为保证染色时相邻顶点不同色，另外的4个点只能取相对的顶点为一组，不是相邻的顶点为一组，此时分法唯一）。第二步：为三组顶点染色有33A=6种方法。根据分步计数原理得：共有染色方法3065种。2.第一步:先选人：从7人中选6人有67C种选法。第二步：分组：把6个人平均分为2组，每组3人，有!23336CC种分组方法。第三步：为2组人安排工作有22A种安排方案。由分步计数原理知：共有140!222333667ACCC种安排方案。3.（1）小张和小赵只有一人入选，即2人中只有1人入选有2种选法，从小张和小赵中选取1人从事一项工作有2种选法，其余3人从事剩下的三项工作有6种选法，故此时有24622种选法。（2）小张和小赵都入选，此时小张和小赵从事的工作有2种安排方法，余下的两人可从小李、小罗、小王中选，有323C种选法，选出的这两人从事后两项工作有2种安排方法选法。此时有12223种选法。由分类计数原理知：不同的选派方案共有361224种。解题后的思考：本例考查分组与分配问题，此类题是新课标