最短路径问题(将军饮马问题)

——将军饮马问题及延伸为什么有的人会经常践踏草地呢？绿地里本没有路，走的人多了……禁止践踏两点之间，线段最短在公路l两侧有两村庄，现要在公路l旁修建一所候车亭P，要使候车亭到两村庄的距离之和最短，试确定候车亭P的位置。ABP★思考：本题运用了.两点之间，线段最短.l将军饮马问题：两线段之和最短这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途中马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？这就是被称为将军饮马而广为流传的问题。如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？ABBAB'P作法：（1）作点B关于直线MN的对称点B'（2）连结B'A，交MN于点P；所以点P就是所求的点．MN∴BP+APBP'+AP'，即AP+BP最小．NABPB'P'∵直线MN是点B、B'的对称轴，点P、P'在对称轴上，∴BP=B'P，BP'=B'P'．在MN上任取另一点P'，连结BP、BP'、AP'、B'P'．证明：在△AB'P'中，AB'AP'+B'P'，∴BP+AP=B'P+AP=B'A．M∴BP'+AP'=B'P'+AP'变式1：已知：P、Q是△ABC的边AB、AC上的点，你能在BC上确定一点R，使△PQR的周长最短吗？草地河边.驻地A如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地OM吃草，再牵马去河边ON喝水，最后回到驻地A问：这位将军怎样走路程最短？OMN.''A'A..B.CA.MON如图:已知内一点AMON求作:OM上一点B,ON上一点C,使AB+BC+AC最小作法:(1)作点A关于OM、ON的对称点A'、A''(2)连结A'和A''，交OM于B,交ON于C,则点B、C为所求。变式1：已知P是△ABC的边BC上的点，你能在AB、AC上分别确定一点Q和R，使△PQR的周长最短吗？如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。两点在两相交直线内部答案：如图,A是马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后回到帐篷.请你帮他确定这一天的最短路线.ABA'B'MNBAONM变式1：已知：MON内两点A、B.求作：点C和点D,使得点C在OM上，点D在ON上，且AC+CD+BD+AB最短。A'B'CD变式2：如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台边OM、ON后，反弹击中黑球？CNMOBA.'',.AOMABONB作法:(1)作点关于的对称点点关于的对称点''(2)ABOMCOND连结和，交于，交于。则点C、D为所求。.....AA'BB'CDMON变式2：课堂小结：今天我们学习了最短路径的相关问题，我们应该怎么样找到它们的最短路径呢？1、确定对称轴，找出定点的对称点。2、连接对称点与另一点确定所求位置点（连接各对称点确定所求位置点）。本节课研究问题的基本过程是什么？把实际问题变成数学问题或数学模型→推理→猜想→证明↓得出结论应用到实际问题中←课后拓展：在矩形ABCD中，在边和对角线AD、BD上有两个动点M、N,当M、N运动到何处时，BM+MN最短？ABDCMN