有理数的乘方及混合运算(基础)

地址：北京市西城区新德街20号4层电话：[phone]传真：[phone]第1页共9页有理数的乘方、混合运算及科学记数法（基础）撰稿：吴婷婷审稿：常春芳【学习目标】1．理解有理数乘方的定义；2.掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；3.进一步掌握有理数的混合运算.4.会用科学记数法表示大数.【要点梳理】要点一、有理数的乘方定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．即有：naaaan个.在na中，a叫做底数，n叫做指数．要点诠释：（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．要点二、乘方运算的符号法则（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，如na≥0．要点诠释：(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．(2)任何数的偶次幂都是非负数．要点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．要点诠释：(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．(3)在运算过程中注意运算律的运用．要点四、科学记数法把一个大于10的数表示成10na的形式（其中a是整数数位只有一位的数，l≤|a|10，n是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如42000000＝74.210.要点诠释：（1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如-3000=3310；（2）把一个数写成10na形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少地址：北京市西城区新德街20号4层电话：[phone]传真：[phone]第2页共9页1.【典型例题】类型一、有理数乘方【高清课堂：有理数的乘方及混合运算356849有理数乘方的性质】1．计算：（1）3(4)（2）34（3）4(3)（4）43（5）335（）（6）335（7）2（23）（8）223【答案与解析】（1）3(4)(4)(4)(4)64；（2）3444464；（3）4(3)(3)(3)(3)(3)81；（4）43333381；（5）335（）33327555125；（6）3353332755；（7）2（23）2636；（8）2232918【总结升华】()na与na不同，()()()nnaaaa个，而nnaaaa个表示a的n次幂的相反数．举一反三：【变式】比较3-5（）与3-5的异同．【答案】相同点：它们的结果相同，指数相同；不同点：3-5（）表示-5的3次方，即(-5)×(-5)×(-5)＝-125，而3-5表示5的3次方的相反数，即3-5＝-(5×5×5)．因此，它们的底数不同，表示的意义不同．类型二、乘方的符号法则2．不做运算，判断下列各运算结果的符号．地址：北京市西城区新德街20号4层电话：[phone]传真：[phone]第3页共9页(-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009，553，-(-2)2010【思路点拨】理解乘方的意义，掌握乘方的符号法则．【答案与解析】根据乘方的符号法则直接判断，可得：(-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结果为正；(-1.0009)2009运算的结果是负；553运算的结果是正；-(-2)2010运算的结果是负．【总结升华】“一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负．类型三、有理数的混合运算【高清课堂：有理数的乘方及混合运算356849典型例题1】3.计算：（1）21110.5233----（2）3411236（3）3201111(12.75)241238（4）33211230.10.2【答案与解析】（1）法一：原式＝517(1)(7)(7)666；法二：原式=1117(11)(29)(7)2366（2）原式11227611296-35=6-(3)原式4111()384=-（-24）-1-8=-32-3+66-9=22(4)原式11830.0010.04==-1000-25+11=-1014【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提．举一反三：【变式】计算：（1）4211(10.5)[2(3)]3（2）2421(2)(4)12【答案】原式111151(29)1(7)17523666地址：北京市西城区新德街20号4层电话：[phone]传真：[phone]第4页共9页原式11116(4)11612444类型四、科学记数法4.用科学记数法表示：(1)3870000000；（2）3000亿；（3）287.6【答案与解析】（1）把3870000000写成10na时，3.87a，它是将原数的小数点向左移动9位得到的，即把原数缩小到9110，所以938700000003.8710；（2）3000亿=300000000000，把3000亿写成10na时，3a，n的值应比300000000000的整数位少1，因此11n，所以3000亿=11310；（3）287.6写成10na时，“-”照写，其它和正数一样，所以2287.62.87610.【总结升华】带有文字单位的数先变为原数，再写成10na形式，n的确定：n比这个数的整数位数少1.举一反三：【变式】据宁波市统计局公布的第六次人口普查数据，本市常住人口760.57万人，其中760.57万人用科学记数法表示为（）A．7.6057×510人B．7.6057×610人C．7.6057×710人D．0.76057×710人【答案】B5.把下列用科学记数法表示的数转化成原数.（1）33.1410；（2）71.73210；（3）61.39210千米【答案与解析】此题是对科学记数法的逆用（1）33.14103140；（2）71.7321017320000；（3）61.39210千米=1392000千米.【总结升华】将科学记数法表示的数转化为原数，方法简单：n是几就将10na中a的小数点向右移动几位.类型五、探索规律地址：北京市西城区新德街20号4层电话：[phone]传真：[phone]第5页共9页6.你见过拉面馆的师傅拉面吗？他们用一根粗的面条，第1次把两头捏在一起抻拉得到两根面条，再把两头捏在一起抻拉，反复数次，就能拉出许多根细面条，如下图，第3次捏合抻拉得到根面条，第5次捏合抻拉得到根面条，第n次捏合抻拉得到根面条，要想得到64根细面条，需次捏合抻拉.第1次第2次第3次【思路点拨】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是找出每一次拉出来面条的根数的规律．第1次：122；第2次：224；第3次：328；…；第n次：2n.【答案】8；32；2n；6【解析】由题意可知，每次捏合后所得面条数是捏合前面条数的2倍，所以可得到：第1次：122；第2次：224；第3次：328；…；第n次：2n.第3次捏合抻拉得到面条根数：32，即8根；第5次得到：52，即32根；第n次捏合抻拉得到2n；因为6264，所以要想得到64根面条，需要6次捏合抻拉.【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似杂乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循．举一反三：【变式】已知21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，观察上面的规律，试猜想22008的末位数字是________．【答案】6【巩固练习】一、选择题1．下列各组数中，计算结果相等的是()．A．-23与(-2)3B．-22与(-2)2C．22()5与225D．(2)与22．下列说法中，正确的是（）．A．一个数的平方一定大于这个数B．一个数的平方一定是正数C．一个数的平方一定小于这个数D．一个数的平方不可能是负数3．式子345的意义是（）．地址：北京市西城区新德街20号4层电话：[phone]传真：[phone]第6页共9页A．4与5商的立方的相反数B．4的立方与5的商的相反数C．4的立方的相反数除5D．45的立方4．中国是严重缺水的国家之一，人均淡水资源为世界人均量的四分之一，所以我们为中国节水，为世界节水．若每人每天浪费水0.32L，那么100万人每天浪费的水，用科学记数法表示为（）．A．3.2×107LB．3.2×106LC．3.2×105LD．3.2×104L5．计算(-1)2+(-1)3＝()A．-2B．-1C．0D．26．观察下列等式：71=7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649…由此可判断7100的个位数字是()．A．7B．9C．3D．17．一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第6次后剩下的绳子的长度为()．A．312米B．512米C．612米D．1212米二、填空题8．在(-2)4中，指数是________，底数是________，在-23中，指数是________，底数是________，在225中底数是________，指数是________．9．一个数的平方等于它本身的数是____；一个数的立方等于它本身的数是．10．3；52；313=；225．11．3[(3)]_______,233(2)_______12．6008000=（用科学记数法表示），53.00810=（把用科学记数法表示的数还原）.13．213____，2135_____，21357_____，……，从而猜想：135……22005_____．三、解答题14．计算下列各式：(1)-23+(3-6)2-8×(-1)4；(2)232121(3)242433；地址：北京市西城区新德街20号4层电话：[phone]传真：[phone]第7页共9页(3)2(5)10.8(2.25)77；(4)752181.4563.9569618．15．已知x的倒数和绝对值都是它本身，y、z是有理数，并且2|3|(23)0yxz，求32525xyzxy的值．16．探索规律：观察下面三行数，2，-4，8，-16，32，-64，…①-2，-8，4，-20，28，-68，…②-1，2，-4，8，-16，32，…③(1)第①行第10个数是多少？(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？(3)取每行第10个数，计算这三个数的和．【答案与解析】一、选择题1．【答案】A【解析】-23=-8，（-2）3=-8．2．【答案】