指数函数及其性质-优秀教案

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指数函数及其性质【教学目标】1.知识与技能通过实际问题了解指数函数的实际背景;理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质。体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想;2.情感、态度、价值观:让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理。培养学生观察问题,分析问题的能力。3.过程与方法:展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质。【教学重难点】重点:指数函数的概念和性质及其应用。难点:指数函数性质的归纳,概括及其应用。【学法与教具】1.学法:观察法、讲授法及讨论法。2.教具:多媒体。【教学过程】【第一课时】一、情境设置①在本章的开头,问题(1)中时间x与GDP值中的1.073(20)xyxx与问题(2)]t51301中时间t和C-14含量P的对应关系P=[()2,请问这两个函数有什么共同特征。②这两个函数有什么共同特征157301][()]2tPt57301把P=[()变成2,从而得出这两个关系式中的底数是一个正数,自变量为指数,即都可以用xya(a>0且a≠1来表示)。二、讲授新课指数函数的定义一般地,函数xya(a>0且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R。提问:在下列的关系式中,哪些不是指数函数,为什么?(1)22xy(2)(2)xy(3)2xy(4)xy(5)2yx(6)24yx(7)xyx(8)(1)xya(a>1,且2a)小结:根据指数函数的定义来判断说明:因为a>0,x是任意一个实数时,xa是一个确定的实数,所以函数的定义域为实数集R。000,0xxaaxax当时,等于若当时,无意义若a<0,如1(2),,8xyxx1先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在。若a=1,11,xy是一个常量,没有研究的意义,只有满足(0,1)xyaaa且的形式才能称为指数函数,5,,3,31xxxayxyy1xx为常数,象y=2-3,y=2等等,不符合(01)xyaaa且的形式,所以不是指数函数。我们在学习函数的单调性的时候,主要是根据函数的图象,即用数形结合的方法来研究。下面我们通过先来研究a>1的情况用计算机完成以下表格,并且用计算机画出函数2xy的图象x3.002.502.001.501.000.000.501.001.502.002xy181412124研究,0<a<1的情况,用计算机完成以下表格并绘出函数1()2xy的图象。--------------xy0y=2xx2.502.001.501.000.001.001.502.002.501()2xy1412124从图中我们看出12()2xxyy与的图象有什么关系?通过图象看出12()2xxyyy与的图象关于轴对称,实质是2xy上的x,y点(-)xyx,yy1与=()上点(-)关于轴对称.2讨论:12()2xxyy与的图象关于y轴对称,所以这两个函数是偶函数,对吗?--------------xy012xy--------------xy0②利用电脑软件画出115,3,(),()35xxxxyyyy的函数图象。问题1:从画出的图象中,你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律。从图上看xya(a>1)与xya(0<a<1)两函数图象的特征。问题2:根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性。问题3:指数函数xya(a>0且a≠1),当底数越大时,函数图象间有什么样的关系。图象特征函数性质a>10<a<1a>10<a<1向x轴正负方向无限延伸函数的定义域为R图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x轴上方函数的值域为R+函数图象都过定点(0,1)0a=1自左向右,图象逐渐上升自左向右,图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1x>0,xa>1x>0,xa<1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1x<0,xa<1x<0,xa>15.利用函数的单调性,结合图象还可以看出:(1)在[,]xabfxa上,()=(a>0且a≠1)值域是[(),()][(),()];fafbfbfa或(1)xyaa(01)xyaa0(2)若0,xfxfxx则()1;()取遍所有正数当且仅当R;(3)对于指数函数()xfxa(a>0且a≠1),总有(1);fa(4)当a>1时,若1x<2x,则1()fx<2()fx;例题:例1:已知指数函数()xfxa(a>0且a≠1)的图象过点(3,π),求(0),(1),(3)fff的值.分析:要求(0),(1),(3),,xfffax13的值,只需求出得出f()=()再把0,1,3分别代入x,即可求得(0),(1),(3)fff.提问:要求出指数函数,需要几个条件?补充练习:1.函数1()()2xfx的定义域和值域分别是多少?2.当[1,1],()32xxfx时函数的值域是多少?解:(1),0xRy(2)(-53,1)例2:求下列函数的定义域:(1)442xy(2)||2()3xy分析:类为(1,0)xyaaa的定义域是R,所以,要使(1),(2)题的定义域,保要使其指数部分有意义就得。三、归纳小结1.理解指数函数(0),101xyaaaa注意与两种情况。2.解题利用指数函数的图象,可有利于清晰地分析题目,培养数型结合与分类讨论的数学思想。【第二课时】【教学过程】1.复习指数函数的图象和性质2.例题例1:比较下列各题中的个值的大小(1)1.72.5与1.73(2)0.10.8与0.20.8(3)1.70.3与0.93.1解法1:用数形结合的方法,如第(1)小题,用图形计算器或计算机画出1.7xy的图象,在图象上找出横坐标分别为2.5,3的点,显然,图象上横坐标就为3的点在横坐标为2.5的点的上方,所以2.531.71.7。解法2:用计算器直接计算:2.51.73.7731.74.91所以,2.531.71.7解法3:由函数的单调性考虑因为指数函数1.7xy在R上是增函数,且2.5<3,所以,2.531.71.7仿照以上方法可以解决第(2)小题。注:在第(3)小题中,可以用解法1,解法2解决,但解法3不适合。由于1.70.3=0.93.1不能直接看成某个函数的两个值,因此,在这两个数值间找到1,把这两数值分别与1比较大小,进而比较1.70.3与0.93.1的大小。思考:1.已知0.70.90.80.8,0.8,1.2,abc按大小顺序排列,,abc。2.比较1132aa与的大小(a>0且a≠0)。指数函数不仅能比较与它有关的值的大小,在现实生活中,也有很多实际的应用。例2截止到1999年底,我们人口哟13亿,如果今后,能将人口年平均均增长率控制在1%,那么经过20年后,我国人口数最多为多少(精确到亿)?分析:可以先考试一年一年增长的情况,再从中发现规律,最后解决问题:1999年底人口约为13亿1.7xy0经过1年人口约为13(1+1%)亿经过2年人口约为13(1+1%)(1+1%)=13(1+1%)2亿经过3年人口约为13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3亿经过x年人口约为13(1+1%)x亿经过20年人口约为13(1+1%)20亿解:设今后人口年平均增长率为1%,经过x年后,我国人口数为y亿,则13(11%)xy当x=20时,2013(11%)16()y亿答:经过20年后,我国人口数最多为16亿。小结:类似上面此题,设原值为N,平均增长率为P,则对于经过时间x后总量(1),(1)(xxxyNpyNpykaKR像等形如,a>0且a≠1)的函数称为指数型函数。思考:P68探究:(1)如果人口年均增长率提高1个平分点,利用计算器分别计算20年后,33年后的我国人口数。(2)如果年平均增长率保持在2%,利用计算器2020~2100年,每隔5年相应的人口数。(3)你看到我国人口数的增长呈现什么趋势?(4)如何看待计划生育政策?3.课堂练习(1)右图是指数函数①xya②xyb③xyc④xyd的图象,判断,,,abcd与1的大小关系;(2)设31212,,xxyaya其中a>0,a≠1,确定x为何值时,有:①12yy②1y>2y(3)用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的34,写出存留污垢y与漂洗次数x的函数关系式,若要使存留的污垢,不超过原有的1%,则少要漂洗几次归纳小结:本节课研究了指数函数性质的应用,关键是要记住a>1或0<a<时xya的图象,在此基础上研究其性质。本节课还涉及到指数型函数的应用,形如xyka(a>0且a≠1)。

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