指数函数及其性质-优秀教案

指数函数及其性质【教学目标】1．知识与技能通过实际问题了解指数函数的实际背景；理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质。体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；2．情感、态度、价值观：让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理。培养学生观察问题，分析问题的能力。3．过程与方法：展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质。【教学重难点】重点：指数函数的概念和性质及其应用。难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用。【学法与教具】1．学法：观察法、讲授法及讨论法。2．教具：多媒体。【教学过程】【第一课时】一、情境设置①在本章的开头，问题（1）中时间x与GDP值中的1.073(20)xyxx与问题(2)]t51301中时间t和C-14含量P的对应关系P=[()2，请问这两个函数有什么共同特征。②这两个函数有什么共同特征157301][()]2tPt57301把P=[()变成2，从而得出这两个关系式中的底数是一个正数，自变量为指数，即都可以用xya（a＞0且a≠1来表示）。二、讲授新课指数函数的定义一般地，函数xya（a＞0且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R。提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？（1）22xy（2）(2)xy（3）2xy（4）xy（5）2yx（6）24yx（7）xyx（8）(1)xya（a＞1，且2a）小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a＞0，x是任意一个实数时，xa是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R。000,0xxaaxax当时,等于若当时,无意义若a＜0，如1(2),,8xyxx1先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在。若a=1，11,xy是一个常量，没有研究的意义，只有满足(0,1)xyaaa且的形式才能称为指数函数，5,,3,31xxxayxyy1xx为常数,象y=2-3,y=2等等,不符合(01)xyaaa且的形式,所以不是指数函数。我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究。下面我们通过先来研究a＞1的情况用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数2xy的图象x3.002.502.001.501.000.000.501.001.502.002xy181412124研究，0＜a＜1的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数1()2xy的图象。--------------xy0y=2xx2.502.001.501.000.001.001.502.002.501()2xy1412124从图中我们看出12()2xxyy与的图象有什么关系?通过图象看出12()2xxyyy与的图象关于轴对称,实质是2xy上的x,y点(-)xyx,yy1与=()上点(-)关于轴对称.2讨论：12()2xxyy与的图象关于y轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？--------------xy012xy--------------xy0②利用电脑软件画出115,3,(),()35xxxxyyyy的函数图象。问题1：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律。从图上看xya（a＞1）与xya（0＜a＜1）两函数图象的特征。问题2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性。问题3：指数函数xya（a＞0且a≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系。图象特征函数性质a＞10＜a＜1a＞10＜a＜1向x轴正负方向无限延伸函数的定义域为R图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x轴上方函数的值域为R+函数图象都过定点（0，1）0a=1自左向右，图象逐渐上升自左向右，图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1x＞0，xa＞1x＞0，xa＜1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1x＜0，xa＜1x＜0，xa＞15．利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[,]xabfxa上,()=（a＞0且a≠1）值域是[(),()][(),()];fafbfbfa或(1)xyaa(01)xyaa0（2）若0,xfxfxx则()1;()取遍所有正数当且仅当R;（3）对于指数函数()xfxa（a＞0且a≠1），总有(1);fa（4）当a＞1时，若1x＜2x，则1()fx＜2()fx；例题：例1：已知指数函数()xfxa（a＞0且a≠1）的图象过点（3，π），求(0),(1),(3)fff的值.分析：要求(0),(1),(3),,xfffax13的值,只需求出得出f()=()再把0，1，3分别代入x，即可求得(0),(1),(3)fff.提问：要求出指数函数，需要几个条件？补充练习：1．函数1()()2xfx的定义域和值域分别是多少?2．当[1,1],()32xxfx时函数的值域是多少?解：（1）,0xRy（2）（－53，１）例2：求下列函数的定义域：（1）442xy（2）||2()3xy分析：类为(1,0)xyaaa的定义域是R，所以，要使（1），（2）题的定义域，保要使其指数部分有意义就得。三、归纳小结1．理解指数函数(0),101xyaaaa注意与两种情况。2．解题利用指数函数的图象，可有利于清晰地分析题目，培养数型结合与分类讨论的数学思想。【第二课时】【教学过程】1．复习指数函数的图象和性质2．例题例1：比较下列各题中的个值的大小（1）1．72．5与1．73（2）0.10.8与0.20.8（3）1．70.3与0.93．1解法1：用数形结合的方法，如第（1）小题，用图形计算器或计算机画出1.7xy的图象，在图象上找出横坐标分别为2．5，3的点，显然，图象上横坐标就为3的点在横坐标为2．5的点的上方，所以2.531.71.7。解法2：用计算器直接计算：2.51.73.7731.74.91所以，2.531.71.7解法3：由函数的单调性考虑因为指数函数1.7xy在R上是增函数，且2．5＜3，所以，2.531.71.7仿照以上方法可以解决第（2）小题。注：在第（3）小题中，可以用解法1，解法2解决，但解法3不适合。由于1．70.3=0.93．1不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别与1比较大小，进而比较1．70.3与0.93．1的大小。思考：1．已知0.70.90.80.8,0.8,1.2,abc按大小顺序排列,,abc。2．比较1132aa与的大小（a＞0且a≠0）。指数函数不仅能比较与它有关的值的大小，在现实生活中，也有很多实际的应用。例2截止到1999年底，我们人口哟13亿，如果今后，能将人口年平均均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？分析：可以先考试一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题：1999年底人口约为13亿1.7xy0经过1年人口约为13（1+1%）亿经过2年人口约为13（1+1%）（1+1%）=13(1+1%)2亿经过3年人口约为13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3亿经过x年人口约为13(1+1%)x亿经过20年人口约为13(1+1%)20亿解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后，我国人口数为y亿，则13(11%)xy当x=20时，2013(11%)16()y亿答：经过20年后，我国人口数最多为16亿。小结：类似上面此题，设原值为N，平均增长率为P，则对于经过时间x后总量(1),(1)(xxxyNpyNpykaKR像等形如，a＞0且a≠1）的函数称为指数型函数。思考：P68探究：（1）如果人口年均增长率提高1个平分点，利用计算器分别计算20年后，33年后的我国人口数。（2）如果年平均增长率保持在2%，利用计算器2020~2100年，每隔5年相应的人口数。（3）你看到我国人口数的增长呈现什么趋势？（4）如何看待计划生育政策？3．课堂练习（1）右图是指数函数①xya②xyb③xyc④xyd的图象，判断,,,abcd与1的大小关系；（2）设31212,,xxyaya其中a＞0，a≠1，确定x为何值时，有：①12yy②1y＞2y（3）用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的34，写出存留污垢y与漂洗次数x的函数关系式，若要使存留的污垢，不超过原有的1%，则少要漂洗几次归纳小结：本节课研究了指数函数性质的应用，关键是要记住a＞1或0＜a＜时xya的图象，在此基础上研究其性质。本节课还涉及到指数型函数的应用，形如xyka（a＞0且a≠1）。