求矩阵的Jordan标准形的两种方法

求矩阵的Jordan标准形的两种方法方法1.利用矩阵的初等因子原理:由于矩阵的每一个初等因子与一个Jordan块相对应,反之亦然.求出全部的初等因子即可得出其Jordan标准形.方法2.利用特征值和特征向量可求的可逆矩阵T使得ATT1为Jordan标准形.原理:在复数域上,每一个矩阵都与一个Jordan标准形相似,即存在可逆矩阵T使得ATT1为Jordan标准形.例.设411301621A,分别用两种方法求A的Jordan标准形.解:方法1..)1(00010001120011000123101100014111102310411316212222)1(232132rrrrrrAE得A的初等因子为2)1(,1,于是A的Jordan标准形为.11001000121JJJ方法2.(1)首先求A的特征值.3)1(||AE,所以特征值为1,1,1.(2)求出相应的特征向量.求解齐次线性方程组0)(XAE的全部解:.000000311311311622AE相应的特征向量为)0,1,1(1,)1,0,3(2.1,2为特征值空间V1的基.(3)求出一组基,使得A在此基下的矩阵为Jordan标准形.由于A不能对角化,所以必存在一组基321,,使得A在此基下的矩阵为Jordan标准形.再考虑到A有两个线性无关的特征向量,所以A有一个二阶的Jordan块.即11A,322A,33A.可见131,V,需要求出向量322)(EA满足.所以求解线性方程组)()(132211VkkXEA.(*)该方程组的增广矩阵为0000000031126223113113113113622212121kkkkkkkkBkkk取.由于我们想要求一个向量122113Vkk使得线性方程组(*)有解,所以可取任何使得该方程组有解的k1,k2.我们取了k1=k2=k.事实上,还可以直接取k1=k2=k=1.即)1,1,2(213,这样就得到了(*)的解2(1,0,0).再取)0,1,1(11.于是我们有:11A,322A,33A.即.110010001),,(),,(321321AAA令100101211),,(321T,则211110010001JJJATT.