1.3-标量场的梯度

1一、方向导数方向导数表征标量场空间中，某点处场值沿特定方向变化的规律。1.方向导数的定义方向导数的物理意义1.3标量场的梯度00()MuuMMll|是标量场在点处沿方向对距离的变化率001)MuuMll|0，标量场在点沿方向是增加的；002)MuuMll|0，标量场在点沿方向是减小的；003)MuuMll|=0，标量场在点沿方向无变化。000()()limlMuMuMullM0Mll()ur方向导数与选取的考察方向有关。2uuuucoscoscoslxyz2.方向导数的计算公式lzzulyyulxxulul设方向的方向余弦是，即cos,cos,coscosxlcosylcoszl则方向导数的计算公式为设一个标量函数u(x,y,z)，若函数u在点P可微，则u在点P沿任意方向l的方向导数为3二、标量场的梯度标量场在什么方向上变化率最大？其最大的变化率是多少？1.梯度的概念梯度标量场u沿指定方向的变化率就是标量场在该方向的方向导数coscoscosuuuulxyz()(coscoscos)xyzxyzuuueeeeeexyzle?4()(coscoscos)xyzxyzuuuueeeeeelxyz()xyzeeexyz哈密顿算符既具有矢量性质，又具有微分性质矢量——服从矢量运算的规则;算子——代表一种微分运算，服从微分运算规则;1)▽本身无独立意义，只有作用于标量函数或矢量函数时才代表一种运算。2）只对它后边的量起运算作用。不能随便交换▽的位置。AuA5zueyuexueuzyx||1le()xyzeeexyzlegradulu||||coslgradue标量场u的梯度，用表示graduugradu()(coscoscos)xyzxyzuuuueeeeeelxyz梯度的定义：在空间某点的任意方向上，方向导数有无穷多个，其中有一个值最大，这个方向导数的最大值定义为梯度。maxldugraduuedl式中：是场量u变化率最大的方向上的单位矢量。le||cosugradul标量场梯度的幅度表示标量场的最大增加率标量场梯度的方向垂直于等值面，为标量场增加最快的方向标量场在给定点沿任意方向的方向导数等于梯度在该方向投影6梯度的性质等温线分布标量场的梯度为矢量，且是坐标位置的函数直角坐标系中xyzuuugraduueeexyz柱坐标系中1zuuugraduueeez球坐标系中11sinruuugraduueeerrr71)0()CC为常数2)()CuCu3)()uvuv4)()uvuvvu5)()()FuFuu216)()()uvuuvvv2.梯度的基本运算公式7)(,)FFFuvuvuv3.梯度的重要性质0u式中：为常数；为坐标变量函数；C,uv8例1三维高度场的梯度图1三维高度场的梯度高度场的梯度与过该点的等高线垂直；数值等于该点位移的最大变化率；指向地势升高的方向。9例2电位场的梯度图2电位场的梯度电位场的梯度与过该点的等位线垂直；数值等于该点的最大方向导数；指向电位增加的方向。10xyzor源点场点Rr(,,)xyzr或场所在的空间位置点称为场点，记为产生场的场源所在的空间位置点称为源点，记为(,,)xyzr或Rrr源点到场点的距离为从源点指向场点的矢量为||Rrr11,,,,(),()RRfRfRRR例3求,,,,xyzxyz表示对（）运算,表示对（）运算。222||()()()RrrxxyyzzxyzRRRReeexyz11RxxxRRyyyRRzzzRRRRRRRRRR21133||RrrRrr33||1rrrrRRRRRdRdfRdRdfRRfRf)()(RRdRdfRdRdfRRfRf)()(222)()()(||zzyyxxrrR