1二次函数面积最值问题

试卷第1页，总5页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：________班级：________考号：________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前2019年02月16日小丁的初中数学组卷试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一．解答题（共5小题）1．（2015•遵义）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，当以A、C、D为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积；（3）以AB为直径作⊙M，直线经过点E（﹣1，﹣5），并且与⊙M相切，求该直线的解析式．2．（2018•遵义）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y＝﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．试卷第2页，总5页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．3．（2015•安顺）如图，抛物线y＝ax2+bx+与直线AB交于点A（﹣1，0），B（4，），点D是抛物线A、B两点间部分上的一个动点（不与点A、B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD．（1）求抛物线的表达式；（2）设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S取最大值时的点C的坐标．4．（2017•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．5．（2017•安顺）如图甲，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C试卷第3页，总5页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：________班级：________考号：________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．试卷第4页，总5页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明试卷第5页，总5页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：________班级：________考号：________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。12019年02月16日小丁的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共5小题）1．（2015•遵义）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，当以A、C、D为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积；（3）以AB为直径作⊙M，直线经过点E（﹣1，﹣5），并且与⊙M相切，求该直线的解析式．【考点】FA：待定系数法求一次函数解析式；H7：二次函数的最值；H8：待定系数法求二次函数解析式；HF：二次函数综合题；KQ：勾股定理；MC：切线的性质；S9：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）只需运用待定系数法就可解决问题；（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，如图2，可用待定系数法求出直线AC的解析式，设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，从而可以用m的代数式表示出DG，然后用割补法得到△ADC的面积是关于m的二次函数，运用二次函数的最值性就可解决问题；（3）设过点E的直线与⊙M相切于点F，与x轴交于点N，连接MF，如图3，根据切线的性质可得MF⊥EN．易得M的坐标、ME、MF、EF的长，易证△MEF∽△NEM，根据相似三角形的性质可求出MN，从而得到点N的坐标，然后运用待定系数法就可解决问题．【解答】解：（1）如图1，由题可得：本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。2，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，如图2．设直线AC的解析式为y＝kx+t，则有，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+2．设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，∴DH＝﹣m2﹣m+2，GH＝m+2，∴DG＝﹣m2﹣m+2﹣m﹣2＝﹣m2﹣m，∴S△ADC＝S△ADG+S△CDG＝DG•AH+DG•OH＝DG•AO＝2DG＝﹣m2﹣2m＝﹣（m2+4m）＝﹣（m2+4m+4﹣4）＝﹣[（m+2）2﹣4]＝﹣（m+2）2+2．∴当m＝﹣2时，S△ADC取到最大值2．此时yD＝﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+2＝2，即点D的坐标为（﹣2，2）；（3）设过点E的直线与⊙M相切于点F，与x轴交于点N，连接MF，如图3，则有MF⊥EN．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。3∵A（﹣4，0），B（2，0），∴AB＝6，MF＝MB＝MA＝3，∴点M的坐标为（﹣4+3，0）即M（﹣1，0）．∵E（﹣1，﹣5），∴ME＝5，∠EMN＝90°．在Rt△MFE中，EF＝＝＝4．∵∠MEF＝∠NEM，∠MFE＝∠EMN＝90°，∴△MEF∽△NEM，∴＝，∴＝，∴NM＝，∴点N的坐标为（﹣1+，0）即（，0）或（﹣1﹣，0）即（﹣，0）．设直线EN的解析式为y＝px+q．①当点N的坐标为（，0）时，，解得：，∴直线EN的解析式为y＝x﹣．②当点N的坐标为（﹣，0）时，同理可得：直线EN的解析式为y＝﹣x﹣．综上所述：所求直线的解析式为y＝x﹣或y＝﹣x﹣．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。4【点评】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、运用割补法求面积，二次函数的最值性、切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，当直接求一个图形面积比较困难时，通常可考虑采用割补法，另外，过圆外一点作圆的切线有两条，不能遗漏．2．（2018•遵义）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y＝﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有【专题】15：综合题；535：二次函数图象及其性质．【分析】（1）把C与D坐标代入二次函数解析式求出a与c的值，确定出二次函数解析式，与一次函数解析式联立求出E坐标即可；（2）过M作MH垂直于x轴，与直线CE交于点H，四边形COEM面积最大即为三角本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。5形CME面积最大，构造出二次函数求出最大值，并求出此时M坐标即可；（3）令y＝0，求出x的值，得出A与B坐标，由圆周角定理及相似的性质得到三角形AOC与三角形BOF相似，由相似得比例求出OF的长，即可确定出F坐标．【解答】解：（1）把C（0，2），D（4，﹣2）代入二次函数解析式得：，解得：，即二次函数解析式为y＝﹣x2+x+2，联立一次函数解析式得：，消去y得：﹣x+2＝﹣x2+x+2，解得：x＝0或x＝3，则E（3，1）；（2）如图①，过M作MH∥y轴，交CE于点H，设M（m，﹣m2+m+2），则H（m，﹣m+2），∴MH＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，S四边形COEM＝S△OCE+S△CME＝×2×3+MH•3＝﹣m2+3m+3，当m＝﹣＝时，S最大＝，此时M坐标为（，3）；（3）连接BF，如图②所示，当﹣x2+x+2＝0时，x1＝，x2＝，∴OA＝，OB＝，∵∠ACO＝∠ABF，∠AOC＝∠FOB，∴△AOC∽△FOB，∴＝，即＝，解得：OF＝，则F坐标为（0，﹣）．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。6【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，二次函数图象与性质，以及图形与坐标性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．3．（2015•安顺）如图，抛物线y＝ax2+bx+与直线AB交于点A（﹣1，0），B（4，），点D是抛物线A、B两点间部分上的一个动点（不与点A、B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD．（1）求抛物线的表达式；（2）设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S取最大值时的点C的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式，求得a、b的值，从而得到抛物线的解析式；（2）设直线AB为：y＝kx+b．将A、B的坐标代入可得到k，b的方程组，从而可求得k，b于是得到直线AB的解析式，记CD与x轴的交点坐标为E．过点B作BF⊥DC，垂足为F．设D（m，﹣m2+2m+）则C（m，m+），依据三角形的面积公式可得到S与m的函数关系式，接下来由抛物线的对称轴方程，可求得m的值，于是可得到点C的坐标．【解答】解：（1）∵由题意得解得：，∴y＝﹣x2+2x+．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。7（2）设直线AB为：y＝kx+b．则，解得直线AB的解析式为y＝+．如图所示：记CD与x轴的交点坐标为E．过点B作BF⊥DC，垂足为F．设D（m，﹣m2+2m+）则C（m，m+）．∵CD＝（﹣m2+2m+）﹣（m+）＝m2+m+2，∴S＝AE•DC+CD•BF＝CD（AE+BF）＝DC＝m2+m+5．∴S＝m2+m+5．∵﹣＜0，∴当m＝时，S有最大值．∴当m＝时，m+＝×+＝．∴点C（，）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二