求几何体体积的常用方法总结

求几何体体积的常用方法一、分割法对于给出的一个不规则的几何体，不能直接套用公式，常常需要运用分割法，按照结论的要求，将原几何体分割成若干个可求体积的几何体，然后再求和．【例1】如右图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为.分析由于本题中多面体ABCDEF为非规则几何体，不能直接求其体积，因此可以考虑用分割法，使其分割为如图所示的两个体积相等的三棱锥与一个直三棱柱．解析分别过A、B作EF的垂线，垂足分别为G、H，连结DG、CH，容易求得EG=HF=.21,23HCBHGDAG由题意得.32221221213112212112221BHCAGDBHCFAGDEABCDEFBHCAGDVVVV，SS本题还可以这样来分割：取EF的中点P，则多面体ABCDEF分割成正四面体ADEP、PBCF和正四棱锥P—ABCD，也易于计算．点评二、补形法利用平移、旋转、延展或对称等手段，将原几何体补成便于求体积的几何体，如正方体、长方体等．【例2】四面体S—ABC的三组对棱分别相等，且依次为25、13、5，求该四面体的体积．分析由三条对棱相等，易联想到长方体的三组相对的面上的对角线长相等，因此可将四面体补成一个长方体来解决．解析将四面体“补”成如图所示的长方体，使四面体对棱分别为长方体相对面的对角线．设长方体的三边分别为x，y，z，所以V四面体=V长方体-4VD—SAB=V长方体-4··V长方体=V长方体=8.,3,2,4,5,)13(,)52(222222222zyxxzzyyx解得则6131点评本题是通过将四面体的四个面向外拓展补为长方体，则问题转化为求一个长方体和四个相等的且有三个直角的三棱锥，再利用间接法求得最后的结果．练习：已知：长方体中，AB=4，BC=2，=3，求三棱锥的体积1BBCADB11解法分析：111111DCBAABCDCADBVV111BADAV11BADBV111BADCV11BADDV3241111DCBAABCDV=243242131111BADAV=48442411CADBV1111DCBAABCD1A1D1C1BABCD三、等积转换法“等积转换法”是针对当所给几何体的体积不能直接套用公式或涉及的某一量(底面积或高)不易求解时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算，该方法尤其适用于求三棱锥的体积．【例3】在边长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是棱A1B1、A1D1、A1A上的点，且满足A1M=A1B1，A1N=2ND1，A1P=A1A，如图，试求三棱锥A1—MNP的体积．2143分析若用公式V=Sh直接计算三棱锥A1—MNP的体积，则需要求出△MNP的面积和该三棱锥的高，两者显然都不易求出，但若将三棱锥A1—MNP的顶点和底面转换一下，变为求三棱锥P—A1MN的体积，显然就容易解答了．解析31MNAPMNPAVV11.241433221213121313111aaaaPANAMAABCD1A1B1C1DE例1：如图，在边长为a的正方体中，点E为AB上的任意一点，求三棱锥的体积。1111DCBAABCD11DEBADASEBA1131aa22131361a解法分析：V=11DEBA11EBADV的体积求四棱锥上，在侧棱，点体积是的、三棱柱例'''36'''2AABBMCCMCBAABCB'BCAC'A'M2436323231'''’’’’’’’’’’’’CBAABCAABBMCBAABCAABBMABCMAABBMCBAABCVVVVVVV解：B'BACA'C'MB'BCAC'A'M转移顶点法例3：已知三棱锥P—ABC中，,,PA=BC=a且ED=b求三棱锥的体积BCPAPAEDBCEDPABCEDPADCPADBABCPVVVCDSBDSPADPAD3131CBSPAD31aba2131ba261解法分析：abaBCEDBCPAPADBC平面垂面法例4已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别是棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1-EBFD1的体积？BB1CDAC1D1A1EF易证四边形EBFD1为菱形，连结EF，则解法分析：EBFAEFDAEBFDAVVV11111EDAFEFDAVV1111aSEDA1131EBAFEBFAVV11aSEBA131或者：11112EFDAEBFDAVV点评转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用的方法，也是求后面要学习到的求点到平面距离的一个理论依据，相应的方法叫等积法．四、还原图形法此类题主要是没有直接给出几何体，而是给出了几何体的三视图，求体积时一般需要根据三视图还原成直观图，再进行解答．【例4】下图是一个几何体的三视图，根据图中所标的数据求这个几何体的体积．分析本题题设中三视图已经给出，欲求原几何体的体积，需根据“长对正、高平齐、宽相等”的原则将三视图还原成直观图．解析由三视图可知这个几何体是由一个三角形旋转得到的几何体，如右图，△ABC绕着过点B且垂直于BC的直线旋转一周得到的几何体即为原几何体，其体积是圆台的体积减去圆锥的体积．因为圆台的上、下底面的半径分别是BC=1、OA=2，且高BO=3，故所求几何体的体积V=V圆台-V圆锥=7π-4π=3π.点评由三视图还原成几何体时，要注意三视图与原几何体之间的各数据的对应关系．返回