极限与连续习题课

第二章极限与连续习题课x1x2x2Nx1Nx3x几何解释:2aaa.)(,),(,落在其外个至多只有只有有限个内都落在所有的点时当NaaxNnn.,,0,0limaxNnNaxnnn恒有时使一、数列极限1．数列极限的定义2．数列极限的运算法则bBaAybxabyaxnnnnnnnlimlim)(lim)1(AByxyxnnnnnnnlimlim)(lim)2()0(limlimlim)3(时BBAyxyxnnnnnnn3．数列极限的主要性质MxMAxnnn||,0,lim)1(使得则有界性：若BABxAxnnnn，则唯一性：若lim,lim)2(4．数列极限的存在准则AzAyzxynnnnnnnlim,lim,)1(夹逼准则：若Axnnlim则单调有界收敛原理)2(AxMxxxnnnnnlim,1AxMxxxnnnnnlim,1Axfxx)(lim0二、函数的极限1．函数极限的定义Axfx)(lim2．函数的左右极限左极限:.)(,,0,000Axfxxx恒有时使当右极限:.)(,,0,000Axfxxx恒有时使当.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx或记作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx或记作AxfxfAxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim)1(000003．函数极限收敛的充要条件AxfxfAxfxxx)(lim)(lim)(lim)2(4．函数极限的运算法则bBaAxgbxfaxbgxaf)(lim)(lim)]()(lim[)1(ABxgxfxgxf)(lim)(lim)]()(lim[)2()0()(lim)(lim)()(lim)3(时BBAxgxfxgxfBABxfAxf则唯一性：若,)(lim,)(lim)1(5．函数极限的主要性质0,0)(lim)2(0MAxfxx，则局部有界性：若Mxfxx|)(|||00时，使得Axhxg)(lim)(lim则Axf)(lim（4）夹逼准则：若)()()(xhxfxg)(3（0或0）,则在局部保号性：若),(xU内有Axfxx)(lim0)0(0)(或xf三、无穷小与无穷大1．无穷小的基本概念，比较它们的阶0,0Alim高阶比0A等价与1c同阶与＝0cA低阶比＝Alim()0x（1）无穷小的定义（2）无穷小阶的比较0)()(,0)(,|)(|)1(xgxfxgMxf则若2．无穷小的主要性质(2)若～0()(3)若～，～，lim且存在，四、两个重要极限1sinlim0xxx1.2.exxx)11(limlimlim则exxx10)1(lim或五、解题方法及典型例题数列极限解题方法流程图求limnna可找到数列和满足nbncnnnbaclimlimnnnnbaca应用夹逼准则1()nnaga验证单调有界na应用单调有界准则1limlim()()nnnnaagagalimnnaa恒等变形应用极限的四则运算法则求极限判别的形式na()nafn为分式nalimnnaalimnnaa应用等价无穷小代换应用极限的四则运算法则求极限恒等变形求)(limxf判别的形式)(xf)()()(xhxgxfAxf)(lim)()()(xhxgxf为无穷小,且)(),(xhxg)(~)(1xgxg)(~)(1xhxh)()(lim)()(lim11xhxgxhxg为未定式)(xf或)(1)](1[)(xmxmxf)()(sin)(xmxmxfAxf)(lim为复合函数))(()(xhgxf)(xfAxhgxhg))((lim))((lim应用连续函数的极限运算准则))((lim))((limxhgxhg应用重要极限函数极限解题方法流程图一、函数连续的基本概念1．函数连续的定义)()(lim)(lim00000xfxfxfxxxx（1）)(xf在点连续:0x)()(lim00xfxfxx（2）)(xf在点左连续:0x)()(lim000xfxfxx)()(lim000xfxfxx)(xf2.在连续的充要条件:0x右连续:（3）)(xf在区间上连续：在),(ba每一点都连续，叫做在),(ba连续；如果同时在右连续，在左连续,则叫做在连续.b],[baaⅡ函数的连续性3．函数连续与极限的关系极限存在连续4．间断点的分类间断点第一类间断点第二类间断点可去间断点：跳跃间断点：)(lim)(lim0000xfxfxxxx)(lim)(lim0000xfxfxxxx无穷间断点：振荡间断点：（左右极限都存在）（左右极限至少有一个不存在）左右极限至少有一个是二、连续函数的运算法则1．若都连续;则也连续.)(),(xgxf)()(xbgxaf2．若都连续;则也连续.)(),(xgxf)()(xgxf3．若都连续;则也连续(时).)(),(xgxf)()(xgxf0)(xg4．复合性质：若在点连续;在)(xgu0xx)(ufy)(0xgu连续,则在连续.)]([xgfy0xx连续在],[)(baxf三、闭区间上连续函数的性质Cfba)(),,(使0)(),,(fba使BCABbfAaf)(,)(最值定理介值定理零点定理有界性定理MxfmbaxMm)(],[,有最大值最小值0)()(bfafKxfbaxK|)(|],[,0有函数极限典型例题【例1】计算623lim2232xxxxxx分析经过计算可得分子分母的极限都为零，说明分子分母都有致零因子，可以将分子分母的致零因子约去，再求极限。3222232(1)(2)limlim6(3)(2)xxxxxxxxxxxx解：2(1)2lim35xxxx分析对形如的极限，分子、分母可同除以中x的最高次，再利用可求得最终结果。(),()fxgx()lim()xfxgx1lim0(0)kxkx【例2】计算8546543lim2323xxxxxxx解：3223322345633456limlim5184584xxxxxxxxxxxxxx34解：)1(lim2xxxxxxxx1lim21)1(11lim2xx21如果改为：x结果如何？思考【例3】计算)1(lim2xxxx分析由于函数中含有根式，可利用分子有理化变形，可变成的形式。解法2：11limarctanlimlimarctan0()02xxxxxxx11limarctanlimlimarctan002xxxxxxx解法1:因为，所以是时的无穷小，1lim0xx1xx而为有界函数，由有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，知arctanx1limarctan0xxx【例4】计算1limarctanxxx注意：下面的计算是错误的。0arctanlim1limarctan1limxxxxxxx0arctan1limarctan1limxxxxxx因为0arctan1limxxx所以因为limarctanlimarctanxxxx，故并不存在，limarctanxx所以不能应用极限四则运算法则。解：【例5】计算xxxee21012lim0,0021xxeex时，因为212lim210＝所以－xxxee,,021xxeex时，又当xxxee21012lim所以1112lim2120xxxxeee0xxxxxxeeee21021012lim12lim因为不存在所以xxxee21012lim分析本题含，当与(－0)时，有不同的结果，需要用左右极限求之。0x1xe解：【例6】计算)2211(lim222nnnnnnnnn1)1(212211)1(2122222nnnnnnnnnnnnnnnnn而21)1(21lim2nnnnnn211)1(21lim2nnnnn由夹逼准则得21)2211(lim222nnnnnnnnn分析本题是求n项和的数列极限问题，从通项的形式上看，可通过适当放缩以后，利用夹逼准则来计算。【例7】设),2,1)((21,0,011naaaaaannnnnalim（1）证明存在（2）计算nnalim解：(1)由于0)(211aaaaaaaannnnn所以)2(naan又)2(02)(2121naaaaaaaaannnnnnn有下界na即na在时单调下降2n进而证明了数列的有界性。由单调有界数列必有极限知存在nnalim解：(2)设nnalim则有1()2aa（因，故舍去负值）0na注：应用单调有界数列必有极限准则证明数列极限存在，需分别证明数列的单调性和有界性。至于先证单调性还是有界性要根据具体问题具体分析。limnnaa＝所以解：【例8】计算1)1232(limxxxx11232lim()lim(1)2121xxxxxxx2(1)212122lim(1)21xxxxxe型未定式的极限,分析这是1解决方法是利用重要极限。分析分子分母均趋于0，不能运用运算法则，适当作恒等变形，再利用等价无穷小代换。解：30sintanlimxxxx30)cos1(tanlimxxxx320)21(limxxxx2130sintanlimxxxx【例9】计算解：)sin1tan1)(1sin1()sin1tan1)(sin1tan1(lim20xxxxxxxxx原式)sin1tan1)(1sin1(sintanlim20xxxxxxx)1sin1()cos1(tanlim2120xxxxx21)sin21()21(lim21220xxxxx分子有理化极限非零部分可先提出xxxxxx20sin1sin1tan1lim【例10】计算分析由于函数中分子分母都含有根式，可利用分子分母有理化变形，可求出极限。【例11】设14lim231xxaxxx的值和试求具有极限lal,即所求10l解：由于，1lim(1)0xx极限存在3214lim1xxaxxx故必有，321lim(4)0xxaxx于是有，即40a4a将代回原极限式有4a32144lim1xxxxx3214lim1xxaxxx1(4)(1)(1)lim1xxxxx1lim(4)(1)10xxx函数连续与间断典型例题分析求函数连续点处的极限，则只需直接计算函数值。解：)11(lim11lim)1(00xxxxxxxxxxsinlnlim)2(001ln]