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前面我们学习了许多有关三角形的概念（如三角形、等腰三角形、等边三角形以及三角形的高线、中线、角平分线等）如：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫作三角形的外角.不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫作三角形；ABCD像这样，对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的定义.例如：“把数与表示数的字母用运算符号连接而成的式子叫作代数式”是“代数式”的定义.“同一平面内没有公共点的两条直线叫作平行线”是“平行线”的定义.说出下列概念的定义：（1）方程；说一说在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.我们把含有未知数的等式叫做方程.（2）三角形的角平分线.在现实生活中，我们经常要对一件事情作出判断.数学中同样有许多问题需要我们作出判断.下列叙述事情的语句中，哪些是对事情作出了判断？议一议（1）三角形的内角和等于180°；（2）如果|a|=3，那么a=3；（3）1月份有31天；（4）作一条线段等于已知线段；（5）一个锐角与一个钝角互补吗？一般地，对某一件事情作出判断的语句（陈述句）叫作命题.例如，上述语句（1），（2），（3）都是命题；语句（4），（5）没有对事情作出判断，就不是命题.（1）三角形的内角和等于180°；（2）如果|a|=3，那么a=3；（3）1月份有31天；（4）作一条线段等于已知线段；（5）一个锐角与一个钝角互补吗？观察下列命题的表述形式有什么共同点？（1）如果a=b且b=c，那么a=c；（2）如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角.它们的表述形式都是“如果……，那么……”.命题通常写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分就是条件，“那么”引出的部分就是结论.例如，对于上述命题（2），“两个角的和等于90°”就是条件，“这两个角互为余角”就是结论.（2）如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角.有时为了叙述的简便，命题也可以省略关联词“如果”、“那么”.如：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”可以简写成“对顶角相等”；“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”可以简写成“同角的余角相等”.做一做（1）指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……，那么……”的形式：命题条件结论①能被2整除的数是偶数.②有公共顶点的两个角是对顶角.③两直线平行，同位角相等.④同位角相等，两直线平行.那么这个数是偶数如果一个数能被2整除那么这两个角是对顶角如果两个角有公共顶点那么它们的同位角相等如果两条直线平行那么这两条直线平行如果两个同位角相等（2）上述命题③与④的条件与结论之间有什么联系？③两直线平行，同位角相等.④同位角相等，两直线平行.命题③与④的条件与结论互换了位置.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题.例如，上述命题③与④就是互逆命题.③两直线平行，同位角相等.④同位角相等，两直线平行.从上我们可以看出，只要将一个命题的条件和结论互换，就可得到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题.练习1.下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题？（2）两点之间线段最短；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（3）任意一个三角形的三条中线都相交于一点吗？（1）如果x=3，求的值；32xx-不是命题是命题不是命题是命题2.将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式.（1）两条直线相交，只有一个交点；（2）个位数字是5的整数一定能被5整除；答：如果两条直线相交，那么这两条直线只有一个交点.答：如果一个整数的个位数字是5，那么这个数一定能被5整除.（4）三角形的一个外角大于它的任何一个内角.（3）互为相反数的两个数之和等于0；答：如果两个数是互为相反数，那么这两个数之和等于0.答：如果某角是三角形的外角，那么这个角大于它的任何一个内角.3.写出下列命题的逆命题：（1）若两数相等，则它们的绝对值也相等；（2）如果m是整数，那么它也是有理数；（3）两直线平行，内错角相等；（4）两边相等的三角形是等腰三角形.答：绝对值相等的两个数相等答：如果m是有理数，那么它也是整数答：内错角相等，两直线平行答：等腰三角形的两边相等议一议下列命题中，哪些正确，哪些错误？并说一说你的理由.（1）每一个月都有31天；（2）如果a是有理数，那么a是整数.（3）同位角相等；（4）同角的补角相等.错误错误错误正确上面四个命题中，命题（4）是正确的，命题（1），（2），（3）都是错误的.我们把正确的命题称为真命题，把错误的命题称为假命题.（1）每一个月都有31天；（2）如果a是有理数，那么a是整数.（3）同位角相等；（4）同角的补角相等.要判断一个命题是真命题，常常要从命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出其结论成立，从而判断这个命题为真命题，这个过程叫证明.例如，命题“同角的补角相等”通过推理可以判断出它是真命题.由于∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，所以∠2=180°-∠1，∠3=180°-∠1.因此∠2=∠3（等量代换）.于是，我们得出：同角（或等角）的补角相等.要判断一个命题是假命题，只需举出一个例子（反例），它符合命题的条件，但不满足命题的结论，从而就可判断这个命题为假命题.例如，要判断命题“如果a是有理数，那么a是整数”是一个假命题，我们举出“0.1是有理数，但是0.1不是整数”这一例子即可判断该命题是假命题.我们通常把这种方法称为“举反例”.判断下列命题为真命题的依据是什么？说一说（1）如果a是整数，那么a是有理数；（2）如果△ABC是等边三角形，那么△ABC是等腰三角形.分别是根据有理数、等腰（等边）三角形的定义作出的判断.从上可以看到，在判断一个命题是否为真命题时常常要利用一些概念的定义，但是光用定义只能判断一些很简单的命题是否为真.事实上，对于绝大多数命题的真假的判断，光用定义是远远不够的.古希腊数学家欧几里得（Euclid，约公元前330—前275年）对他那个时代的数学知识作了系统的总结，他挑选了一些人们在长期实践中总结出来的公认的真命题作为证明的原始依据，称这些真命题为公理.本书中，我们把少数真命题作为基本事实.例如，两点确定一条直线；两点之间线段最短等.人们可以用定义和基本事实作为推理的出发点，去判断其他命题的真假.例如在七年级下册，我们从基本事实出发证明了一些有关平行线的结论.基本事实同位角相等，两直线平行.内错角相等，两直线平行.同旁内角互补，两直线平行.我们把经过证明为真的命题叫作定理.例如，“三角形的内角和等于180°”称为“三角形内角和定理”.定理也可以作为判断其他命题真假的依据，由某定理直接得出的真命题叫作这个定理的推论.例如，“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”称为“三角形内角和定理的推论”，也可称为“三角形外角定理”.当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题.例如，“如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2”是真命题，但它的逆命题“如果∠1=∠2，那么∠1和∠2是对顶角”就是假命题.如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫作互逆定理.我们前面学过的定理中就有互逆的定理.例如，“内错角相等，两直线平行”和“两直线平行，内错角相等”是互逆的定理.练习1.下列命题中，哪些是真命题，哪些是假命题？请说说你的理由.（1）绝对值最小的数是0；答：真命题（2）相等的角是对顶角；（3）一个角的补角大于这个角；（4）在同一平面内，如果直线a⊥l，b⊥l，那么a∥b.答：假命题答：假命题答：真命题2.举反例说明下列命题是假命题：（1）两个锐角的和是钝角；（2）如果数a，b的积ab＞0，那么a，b都是正数；（3）两条直线被第三条直线所截同位角相等.答：直角三角形的两个锐角和不是钝角答：-1和-3的积是(-1)(-3)0，-1和-3不是正数.答：两条相交的直线a、b被第三条直线l所截，它们的同位角不相等3.试写出两个命题，要求它们不仅是互逆命题，而且都是真命题.答：两直线平行，内错角相等。内错角相等，两直线平行。观察、操作、实验是人们认识事物的重要手段，而且人们可以从中猜测发现出一些结论.采用剪拼或度量的方法，猜测“三角形的外角和”等于多少度.做一做从剪拼或度量可以猜测三角形的三个外角之和等于360°，但是剪拼时难以真正拼成一个周角，只是接近周角；分别度量这三个角后再相加，结果可能接近360°，但不能很准确地都得到360°.另外，由于不同形状的三角形有无数个，我们也不可能用剪拼或度量的方法来一一验证，因此，我们只能猜测任何一个三角形的外角和都为360°.此时猜测出的命题仅仅是一种猜想，未必都是真命题.要确定这个命题是真命题，还需要通过推理的方法加以证明.数学上证明一个命题时，通常从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经证明了的定理和推论，通过一步步的推理，最后证实这个命题的结论成立.证明的每一步都必须要有根据.证明命题“三角形的外角和为360°”是真命题.动脑筋在分析出这一命题的条件和结论后，我们就可以按如下步骤进行：已知：如图，∠BAF，∠CBD和∠ACE分别是△ABC的三个外角.求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.证明如图，∵∠BAF=∠2+∠3，∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3)(等式的性质).∠CBD=∠1+∠3，∠ACE=∠1+∠2（三角形外角定理），∵∠1+∠2+∠3=180°(三角形内角和定理)，∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：第一步第二步第三步画出图形写出已知、求证写出证明的过程根据题意根据命题的条件和结论，结合图形通过分析，找出证明的途径例1已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在线段BA的延长线上，射线AE平分∠DAC.求证：AE∥BC.证明：∵∠DAC=∠B+∠C（三角形外角定理），∠B=∠C（已知），∴∠DAC=2∠B（等式的性质）.又∵AE平分∠DAC（已知），∴∠DAC=2∠DAE（角平分线的定义）∴∠DAE=∠B（等量代换）.∴AE∥BC（同位角相等，两直线平行）例2已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角.求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.分析这个命题的结论是“至少有一个”，也就是说可能出现“有一个”、“有两个”、“有三个”这三种情况.如果直接来证明，将很繁琐，因此，我们将从另外一个角度来证明.证明假设∠A，∠B，∠C中没有一个角大于或等于60°，即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，则∠A+∠B+∠C＜180°.这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，所以假设不正确.因此，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.像这样，当直接证明一个命题为真有困难时，我们可以先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为反证法.反证法是一种间接证明的方法，其基本的思路可归结为“否定结论，导出矛盾，肯定结论”.练习1.在括号内填上理由.已知：如图，∠A+∠B=180°.求证：∠C+∠D=180°.证明：∵∠A+∠B=180°（已知），∴AD∥BC（）.∴∠C+∠D=180°（）.同旁内角互补，两直线平行两直线平行，同旁内角互补2.已知：如图，直线AB，CD被直线MN所截，∠1=∠2.求证：∠2=∠3，∠3+∠4=180°.证明：∵∠1=∠2，∴∠2=∠3（两直线平行,内错角相等）∠3+∠4=180°（两直线平行,同旁内角互补）.∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）3.已知：如图，AB与CD相交于点E.求证：∠A+∠C=∠B+∠D.证明：∵AB与CD相交于点E，∴∠AEC=∠BED（对顶角相等），又∠A+∠C+∠AEC=∠B+∠D+∠BED=180°（三角形内角和等于180°），∴∠A+∠C=∠B+∠D.中考试题例命题①：同位角相等是