图形与几何

学科知识更新与拓展“图形与几何”“看见”、“洞察”仔细玩味，一定会有很多联想。“什么是几何？”2能够看到的。几何是视觉思维占主导地位的学科。如果用一个词描述代数和几何的话，宁愿用“严格”和“洞察”。•激发老师们思维的碰撞分享•从分析若干案例入手，引发对一些问题的思考3•对教学给以帮助和启发观点建议课堂教学实践引言对“图形与几何”的整体思考41.对于图形与几何，请写出您认为最重要的核心词。5思考2.在《标准》中，图形与几何的学习包括哪些内容？这些内容与过去相比有哪些变化？3.在这部分教学中，请写出您印象最深刻的教学现象，您还有哪些困惑问题？6核心是发展空间观念在“图形与几何”领域的教学中，应帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力。7核心是发展空间观念◆空间观念主要指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。◆几何直观主要指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。8核心是发展空间观念◆推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果。演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）出发，按照规定的法则证明（包括逻辑和运算）结论。在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路、发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性。推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。9核心是发展空间观念主要内容◆空间和平面图形的认识，分类◆度量◆图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影◆图形的性质、平面图形基本性质的证明◆运用坐标描述图形的位置和运动10图形的认识测量图形的运动图形的位置图形的性质图形的变化图形的变化11性质测量图形的认识图形的认识图形的运动图形与位置内容结构的变化：从多角度认识图形，认识空间内容结构的变化：几何≠有关图形的计算图形性质度量图形的认识12它是对空间和图形的刻画与把握。刻画图形的特征刻画图形的大小刻画图形的位置刻画图形的运动图形与位置图形的运动测量13困惑1.为什么在认识图形时，先学“体”，再学“面”？在学生没有“面”的相关知识的基础上，如何给学生讲好“体”的知识？——原来图形的认识是从“平面到立体”，现在是从“立体到平面再到立体”，这样变化的原因是什么？14困惑2.为什么要把中学几何的东西（比如三角形两边之和大于第三边）下放到小学？学生热热闹闹操作了半天，还不如到中学一下子就学会了。——小学几何与中学几何不同的地方是什么？儿童学习几何的几个重要阶段是什么？15困惑3.“东西南北”、“平移、旋转、轴对称”等应该在科学课、美术课中学习，为什么要在数学课上学？——图形与位置和图形与变换内容的数学价值是什么？16困惑4.“火车拐弯”、“窗帘拉动”……是旋转或平移吗？——什么是平移、旋转、轴对称？17困惑5.现在重视空间观念，是不是摸摸、看看就是空间观念？——什么是空间观念？18困惑6.学生的空间观念比较差，比如从侧面观察立体图形时容易出现错误，教学中怎么办？——如何培养学生的空间观念？设置某些内容价值方面学生认知困难方面课程结构方面空间观念方面20案例研讨21一、图形的认识【案例1】第一学段“长方形、正方形、三角形、圆的直观认识”的两个教学过程。背景：学生已经在一年级上册直观认识了正方体、长方体、圆柱、球等立体图形。在此基础上，一年级下册直观认识长方形、正方形、三角形、圆的内容。22一、图形的认识案例描述：过程1（1）探索从正方体、长方体、三棱柱、圆柱中能得到哪些平面图形？从哪些立体图形中可以得到长方形、正方形、三角形、圆？（学生借助沙盘操作，可以把立体图形的某个面按在沙盘上）教师给学生比较充分的时间，学生的思维很开放，比如对于从哪些立体图形中可以得到长方形的这个问题，学生开始提出了两个老师事先设想好的答案：——长方体可以得到长方形；——三棱柱“躺着”也能得到长方形。23一、图形的认识案例描述：过程1突然，一个学生指出圆柱也可以得到长方形，引起其他同学的好奇。他的回答如下：——把圆柱滚一滚，或者把圆柱使劲按一按（实际就是截面），就可以得到长方形。受到启发，有的学生认为正方体也可以得到长方形。随着学生们的操作、交流、再操作，一节课的时间过去了将近一半。24一、图形的认识案例描述：过程1（2）教师演示从立体图形得到相应平面图形的过程（长方体——长方形、正方体——正方形、三棱柱——三角形、圆柱——圆），介绍平面图形的名称，并强调面在体上。（3）学生在纸上描出长方形、正方形、三角形、圆。（4）认识交通标志中的平面图形（由于前面的时间比较长,后面老师还有很多练习没有做，只是匆匆做了此练习）。25一、图形的认识案例描述：过程2（1）出示由4种平面图形拼成的有趣的小船（每种图形若干个，大小不一），鼓励学生进行分类。（2）引导学生认识每种平面图形的名称。（3）学生分别从正方体、长方体、三棱柱、圆柱中得到正方形、长方形、三角形、圆，认识到面在体上。与过程1不同，教师直接引导学生从长方体——长方形、正方体——正方形、三棱柱——三角形、圆柱——圆。26一、图形的认识案例描述：过程2（4）回到生活中去：寻找生活中“存在”的平面图形。（5）拼图游戏：用若干个平面图形拼图。讨论问题：上面的两个教学过程，您更喜欢哪个？依据是什么？27一、图形的认识【案例2】第二学段学习“两边之和大于第三边”时，学生出现的困惑。案例描述：老师给学生提供了一些长短不同的小棒，鼓励学生用它们拼三角形。在此过程中，希望学生发现：当两边之和等于第三边、或者是小于第三边的时候，拼不成三角形，从而反过来意识到，三角形的两边之和应该大于第三边。28一、图形的认识案例描述：实际教学中，对于两边之和小于第三边的情形，学生毫无疑义地认为不能拼成三角形。关键是两边之和等于第三边的情形，比如4，5，9，学生们却产生了分歧，一部分学生确实利用小棒“拼成”了三角形，也就是学生通过操作，认为“当两边之和等于第三边时，能拼成一个三角形”，并且很多同学都赞同。29讨论问题：1.学生为什么会出现这些想法？您在教学中将如何处理？2.既然操作造成了“麻烦”，图形的认识是否还需要操作？一、图形的认识30二、测量案例描述：一个学校对于圆的面积的教学设计进行了讨论。首先，他们分析了教材，教材的基本呈现形式如下：【案例3】由圆的面积备课谈起。31二、测量案例描述：如图，教材将圆等分为了若干份扇形，然后将这些扇形“拼成”了近似的平行四边形或长方形，并且分的份数越多，就越接近平行四边形或长方形。接着，教材引导学生分析圆的周长与半径与平行四边形的底和高（或长方形的长和宽）的关系，由此推导出圆的面积的公式。老师们把“切、拼”的过程称为“切蛋糕”。【案例5】由圆的面积备课谈起。32二、测量分析了教材后，大家谈起了最近分别看的有关“圆的面积”的三节课：◆第一节课教师引导学生将16个扇形拼成不同的图形，在拼上下功夫。教师从复习平行四边形面积公式的推导过程引入，然后引导学生将圆平均分成若干个扇形。接着，教师给了学生比较充分地探索和小组合作的时间，鼓励他们将这些扇形拼成了近似的长方形、平行四边形、梯形和三角形，如下图：【案例3】由圆的面积备课谈起。33二、测量然后老师从中选取一种，引导学生推导圆的面积。【案例3】由圆的面积备课谈起。34二、测量◆第二节课教师引导学生用某一个图形进行多种角度的推导，也就是在推导上下功夫。第二位老师从实际问题来引入，使学生产生探索圆的面积公式的愿望。然后，教师还是引导学生将圆平均分成若干个扇形，并将它们拼成一个近似的平行四边形。接着，他把重点放在公式的推导过程上，就是给了学生较长的探索和小组合作时间，鼓励他们用不同的份数进行推导，即尽管都是拼成近似的平行四边形，但由于拼的份数不一样，中间的推导过程也是不一样的。教师引导学生体会用不同的份数都可以推导出圆的公式。【案例5】由圆的面积备课谈起。35二、测量◆第三节课教师一开始就给了学生比较大的探索空间，鼓励学生自由尝试解决圆的面积的问题。下面是学生的做法：（1）圆中“得到”一个内接正方形。学生：如右图，我们把圆形内部折出一个正方形，这个正方形的面积可以求出，但是我们不知道这多余的八个图形的面积怎么求。【案例5】由圆的面积备课谈起。36二、测量◆第三节课（2）圆中画小方格。学生：如下图，中间的小方格好数出来，但是旁边不满一格的不知怎么办。（3）教材中的“切蛋糕”。【案例3】由圆的面积备课谈起。37二、测量【案例3】由圆的面积备课谈起。讨论问题：1.上面的三种教学过程，您最喜欢哪个？说说理由。2.学生的想法和教材上的想法有没有什么联系？教材中为什么要“切蛋糕”？3.面对学生的想法，您在教学设计中如何处理？38二、测量【案例4】学生对面积理解的困惑。在平行四边形面积探索的一节课上，教师开始给了一个长是10、宽是6的长方形，学生通过以前的知识马上得到长方形的面积为60。然后他给了学生一系列的平行四边形，它们的一个边还是10，另一个边还是6，相邻的两条边的长度没有变，只是越来越“歪”了。学生开始绝大部分还是认为面积是60，后来教师鼓励学生去观察这些平行四边形，有些学生开始觉得有点不像，但是还是有很多的孩子认为，面积就应该是60。他们提出自己的理由，比如说有一个孩子提到：这些平行四边形都可以看成是长方形逐渐拉动而成的，在整个拉动的过程中面积应该不变。39二、测量【案例4】学生对面积理解的困惑。针对这个，老师通过课件演示，使学生强烈感受到：拉到最后一个，平行四边形的面积跟开始差的很大了。如下图：教师觉得这下肯定很有说服力了。但还有一些学生站起来说：“确实我发现它们的大小不一样，但是它们的面积应该是一样的”。40二、测量【案例4】学生对面积理解的困惑。讨论问题：在教学中我们发现，高年级的孩子对于周长和面积仍然存在意义理解的困难。是什么原因造成这种现象？41三、图形的运动案例描述：这位教师在课后反思中谈道：教师已经反复强调了对折以后能够完全重合的图形是轴对称图形，为什么学生还认为平行四边形是轴对称图形。学生的这种“执着”是什么原因呢？讨论问题：1.小学阶段学习过的平面图形，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？2.学生们为什么总觉得平行四边形“对称”？学生的想法在教学上对您是否有启发？421.在判断轴对称图形时，是否要考虑图形内部的颜色或图案？2.“火车拐弯”、“窗帘拉动”、“摩天轮”是旋转或平移吗？3.为什么要增加平移、旋转、轴对称的内容？三、图形的运动43四、图形与位置【案例5】学生是如何“刻画班长位置”的。测试问题：请你在纸上描述出你们班长的位置。下面是学生的几种做法：（1）文字叙述班长的位置：×行×列。比如三排第四个、第三列的第四个人。（2）文字叙述班长的位置：从×数×行×列。比如：从窗户数的第三排、第四个。从门这边数是第五组的第四个。44四、图形与位置【案例5】学生是如何“刻画班长位置”的。（3）用图表示班长的位置：×行×列。如下图：45四、图形与位置【案例5】学生是如何“刻画班长位置”的。（4）用图表示班长的位置：从×数×行×列46四、图形与位置【案例3】学生是如何“刻画班长位置”的。（5）还有一个孩子谈到了，班长在我的斜后方第二个。讨论问题：1.学生的想法有道理吗？与教材中确定位置的方法有什么联系？2.如果您的学生也有这些想法，您准备如何处理？47三、图形的运动【案例4】学生为什么执着于“平行四边形是轴对称图形”。案例描述：一位教师进行轴对称图形教学的时候，课堂上出现了一个“突发事件”：当判断（一般）平行四边形是不是轴对称图形的时候，学生产生了比较大的分歧。很多学生认为平行四边形就应该是轴对称图形，主要观点如下：48三、图形的运动【案例4】学生为什么执着于“平行四边形是轴对称