最新人教版八年级数学上册13.3.1等腰三角形的性质

人教版八年级数学上册13.3等腰三角形（第1课时）•学习目标：1．探索并证明等腰三角形的两个性质．2．能利用性质证明两个角相等或两条线段相等．3．结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用．•学习重点：探索并证明等腰三角形性质．活动（一）：细心观察活动（一）：细心观察活动（一）：细心观察活动（一）：细心观察共同特点活动（一）：细心观察ABC等腰三角形:有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,底边与腰的夹角叫做底角.两腰所夹的角叫做顶角,腰腰底边顶角底角回顾1、等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长是；2、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,则它的周长是；3、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它的周长是。10cm10cm或11cm19cm把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.等腰三角形是轴对称图形吗？等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线。温故知新如图,把一张长方形的纸按图中虚线对折,并剪去绿色部分,再把它展开,得到的△ABC有什么特点?ABCAB=AC等腰三角形活动（二）：动手操作上面剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？ABCD把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角，填入下表：重合的线段重合的角等腰三角形除了两腰相等以外,你还能发现它的其他性质吗?AB=ACBD=CDAD=AD∠B=∠C∠ADB=∠ADC∠BAD=∠CAD活动（三）：细心观察大胆猜想已知：△ABC中，AB=AC求证：∠B=C分析：1.如何证明两个角相等？活动（四）：猜想与论证等腰三角形的两个底角相等。2.如何构造两个全等的三角形？已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.ABC等腰三角形的两个底角相等。D证明：作底边的中线AD，则BD=CDAB=AC(已知)BD=CD(已作)AD=AD(公共边)∴△BAD≌△CAD(SSS).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).在△BAD和△CAD中方法一：作底边上的中线已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.ABC等腰三角形的两个底角相等。D证明：作顶角的平分线AD，则∠1=∠2AB=AC(已知)∠1=∠2(已作)AD=AD(公共边)∴△BAD≌△CAD(SAS).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).方法二：作顶角的平分线在△BAD和△CAD中12已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.ABC等腰三角形的两个底角相等。D证明：作底边的高线AD，则∠BDA=∠CDA=90°AB=AC(已知)AD=AD(公共边)∴Rt△BAD≌Rt△CAD(HL).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).方法三：作底边的高线在Rt△BAD和Rt△CAD中用符号语言表示为：在△ABC中，∵AC=AB（已知）∴∠B=∠C（等边对等角）等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）ABCD归纳总结想一想:刚才的证明除了能得到∠B＝∠C你还能发现什么?重合的线段重合的角AB＝ACBD＝CDAD＝AD∠B＝∠C.∠BAD＝∠CAD∠ADB＝∠ADC=90°等腰三角形的底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互为重合.猜想（1）如图，AD⊥BC，AB＝AC.求证：BD＝CD，∠1＝∠2.ABCD12（2）如图，BD＝CD，AB＝AC.求证：AD⊥BC，∠1＝∠2.（3）如图，∠1＝∠2，AB＝AC.求证：AD⊥BC，BD＝CD.大胆猜想（1）如图，AD⊥BC，AB＝AC.求证：BD＝CD，∠1＝∠2.ABCD12证明：在Rt△ABD和Rt△ACD中AB＝ACAD＝AD∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）∴BD＝CD，∠1＝∠2（2）如图，BD＝CD，AB＝AC.求证：AD⊥BC，∠1＝∠2.ABCD12证明：在△ABD和△ACD中AB＝ACBD＝CDAD＝AD∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠ADB＝∠ADC，∠1＝∠2又∵∠ADB＋∠ADC＝180°∴∠ADB＝∠ADC＝90°即AD⊥BC（3）如图，∠1＝∠2，AB＝AC.求证：AD⊥BC，BD＝CD.ABCD12证明：在△ABD和△ACD中AB＝AC∠1＝∠2AD＝AD∴△ABD≌△ACD（SAS）∴∠ADB＝∠ADC，BD＝CD又∵∠ADB＋∠ADC＝180°∴∠ADB＝∠ADC＝90°即AD⊥BC(简写成三线合一)ABCD性质2等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线，底边上的高互相重合性质3等腰三角形是轴对称图形，其顶角的平分线（底边上的中线、底边上的高）所在的直线就是等腰三角形的对称轴。归纳总结1、等腰三角形的顶角的平分线，既是底边上的中线，又是底边上的高。应用格式：∵AB＝AC∠1＝∠2（已知）∴BD＝DCAD⊥BC（等腰三角形三线合一）2、等腰三角形的底边上中线，既是底边上的高，又是顶角平分线。应用格式：∵AB＝ACBD＝DC（已知）∴AD⊥BC∠1＝∠2（等腰三角形三线合一）3、等腰三角形的底边上的高，既是底边上的中线，又是顶角平分线。应用格式：∵AB＝ACAD⊥BC（已知）∴BD＝DC∠1＝∠2（等腰三角形三线合一）性质2可分解成下面三个方面来理解：归纳总结画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？ABCDEFABCD“三线合一”应该对应等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高1.根据等腰三角形性质2填空,在△ABC中，AB=AC，(1)∵AD⊥BC，∴∠_____=∠_____，____=____.(2)∵AD是中线，∴____⊥____，∠_____=∠_____.(3)∵AD是角平分线，∴____⊥____，_____=_____.ABCDBADCADCADBDCDADBCBDBADBCADCD知一线得二线“三线合一”可以帮助我们解决线段的垂直、相等以及角的相等问题。2、等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______.3、等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为__________________.4、等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为___________.①顶角度数+2×底角度数=180°②0°＜顶角度数＜180°③0°＜底角度数＜90°结论:在等腰三角形中,40°35°，35°70°,40°或55°,55°例1、如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。1、图中有哪几个等腰三角形？ABCDx⌒2x2x△ABC△ABD△BDC2、有哪些相等的角？∠ABC=∠ACB=∠BDC∠A=∠ABD3、这两组相等的角之间还有什么关系？∠BDC=2∠A∠ABC+∠ACB+∠A=180°应用新知已知：如图，房屋的顶角∠BAC=100º,过屋顶A的立柱ADBC,屋椽AB=AC.求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数.ABDC∴∠BAD=∠CAD=50°∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）.又∵AD⊥BC，∴∠B=∠C=180°－∠BAC=40°(三角形内角和定理)解：在△ABC中∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角）又∵∠BAC=100º(1)猜想一下，等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？如图将等腰三角形ABC沿对称轴折叠，观察DE与DF的关系，并证明你的结论。ABCDEF(2)如果DE、DF分别是AB,AC上的中线或∠ADB,∠ADC的平分线，它们还相等吗？由等腰三角形是轴对称图形，利用类似的方法，还可以得到等腰三角形中哪些相等的线段？已知：在△ABC中，AB=AC.点D是BC的中点，DE⊥AB于E,DF⊥AC于F求证：DE＝DF活动（五）：拓展提高1、等腰三角形的顶角一定是锐角。2、等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以。3、等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边。4、等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。5、等腰三角形底边上的中线一定平分顶角（X）（X）（√）（X）（√）例1、如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。xx2x2x2x解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD(等边对等角)设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x,于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°，在△ABC中，∠A=36°，ABC=∠C=72°如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30。求∠１和∠ADC的度数．∵AB=AC，D是BC边上的中点∠ADC＝90。∵∠BAC=180。-30。-30。=120。160ABCD112BAC（三线合一）课堂练习：谈谈你的收获！你的细心加你的耐心等于成功！如图：△ABC中，AB=AC,AD和BE是高，它们相交于点H，且AE=BE。求证：AH=2BD证明1：∵AB=AC，AD是高，∴BC=2BD又∵BE是高，∴∠ADC=∠BEC=∠AEH=90°在△AEH和△BEC中∴△AEH≌△BEC(ASA)∴∠1+∠C=∠2+∠C=90°∴∠1=∠2︸∠AEH=∠BECAE=BE∠1=∠2∴AH=BC即AH=2BDABCDEH⌒123你的细心加你的耐心等于成功！如图：△ABC中，AB=AC,AD和BE是高，它们相交于点H，且AE=BE。求证：AH=2BD证明2：∵AB=AC，AD是高，∴BC=2BD又∵BE是高，∴∠ADB=∠BEC=∠AEH=90°在△AEH和△BEC中∴△AEH≌△BEC(ASA)∵∠1+∠AEH=∠3，∠2+∠ADB=∠3，∴∠1=∠2︸∠AEH=∠BECAE=BE∠1=∠2∴AH=BC即AH=2BDABCDEH⌒123如图，已知△ABC中，AB＝AC,F在AC上，在BA的延长线上截取AE＝AF,求证：ED⊥BCABCDEF证明：∵AB＝AC，AE＝AF∴∠B＝∠C，∠E＝∠AFE∵∠E＋∠AFE＝∠BAC又∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°∴∠E＋∠AFE＋∠B＋∠C＝180°∴∠E＋∠B＝1/2×180°＝90°∴∠BDE＝90°∴ED⊥BC