householder和givens变换

Householder变换O+OTIHR2)(3)(H则记即：该变换将向量变成了以为法向量的平面的对称向量。Householder变换又称为反射变换或镜像变换，有明显的几何意义。在中，给定一个向量，令表示关于平面（以为法向量）的反射变换所得像，如图所示，3R定义设是一个单位向量，令nCHIH2)(则称H是一个Householder矩阵或Householder变换。性质5.1.1设H是一个Householder矩阵，则（1）H是Hermite矩阵，；（2）H是酉矩阵，；（3）H是对合矩阵，；（4）H是自逆矩阵（5）diag(I,H)也是一个Householder矩阵;（6）detH=-1。HHHIHHHIH2HH1其中为实数。定理设是一个单位向量，则对于任意的nCunCxauHxuaxxaH,2nC当时，取单位向量使0auxnC0xHauxxxxIxHHH)(22))((存在Householder矩阵H，使得证明当x=0时，任取单位向量则则002))((HIxH所以当时，取aux,2auxauxxauxauxauxIxIxHHT22))((22)(uuaxuauaxxxauxauxHHHHH2)()(由于auauxauxauxxauxxxHHH)()()()(2)()()()()(2auxauxauxxauxxHHxauxxuaxxxxuauaxxxHHHHHHH)(2)(222推论1对于任意的，存在Householder矩阵H，使nCx1aeHx其中为实数。12,eaxxaH)1,(,2)(uuRuuuIHTnT1aeHx2xa推论2对于任意的，存在Householder矩阵HnRx上述结论表明，可以利用Householder变换将任意向量化为与第一自然基向量平行的向量（共线）。nRx1e，其中使得得例2用Householder变换将向量化为与平行的向量。Tiix2,,232xTe0,0,11iexH21iaeaxxaH2,12ia325301211iiaexaex13ieHx因此解由于为了使为实数，取令112102145105101512iiiiIHH则也可取或3aia3说明2019/10/141、Givens矩阵和Givens变换从上图中我们可以看出旋转变换并不改变向量的模，所以它是正交变换，从而T是正交矩阵，且