用二分法求方程的近似解

课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第三章函数的应用3．1.2用二分法求方程的近似解课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第三章函数的应用1.理解二分法求方程近似解的原理.2.能根据具体的函数，借助于学习工具，用二分法求出方程的近似解.3.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想.1.利用二分法求方程的近似解．(重点)2.判断函数零点所在的区间．(难点)3.精确度ε与近似值．(易混点)课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第三章函数的应用1．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调增函数，则b的取值范围为_____.2．函数y＝(x－1)(x2－2x－3)的零点为_______.3．方程log2x＋x2＝2的实数解的个数为__.b≥0－1,1,31课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第三章函数的应用1．二分法的定义对于在区间[a，b]上________且__________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_________，使区间的两个端点逐步逼近_____进而得到零点的近似值的方法，叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可以用二分法求方程的近似解．连续不断f(a)·f(b)0一分为二零点课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第三章函数的应用2．二分法的步骤给定精确度ε，用二分法求f(x)零点近似值的步骤如下：(1)确定区间[a，b]，验证___________，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)计算f(c)；①若f(c)＝0，则________________；②若f(a)·f(c)0，则令b＝c(此时零点x0∈______；③若f(c)·f(b)0，则令a＝c(此时零点x0∈______．(4)判断是否达到精确度ε：即若________，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．f(a)·f(b)0c就是函数的零点(a，b))(c，b))|a－b|ε课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第三章函数的应用1．下列函数零点不宜用二分法的是()A．f(x)＝x3－8B．f(x)＝lnx＋3C．f(x)＝x2＋22x＋2D．f(x)＝－x2＋4x＋1解析：由题意知选C.答案：C课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第三章函数的应用f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260f(1.4375)＝0.162f(1.40625)＝－0.0542．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值的参考数据如下：那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为()A．1.5B．1.4C．1.3D．1.2课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第三章函数的应用解析：∵|1.4375－1.375|＝0.0625＜0.1∴f(x)的零点近似值可取1.4375≈1.4或1.375≈1.4.答案：B课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第三章函数的应用3．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________次．解析：区间长度为0.1，等分1次区间长度变为0.05，等分2次，区间长度变为0.025，等分3次，区间长度变为0.0125，等分4次，区间长度变为0.006250.01.符合条件．答案：4课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第三章函数的应用4．用二分法求方程lnx＝1x在[1,2]上的近似解，取中点c＝1.5，求下一个有根区间．解析：令f(x)＝lnx－1x，f(1)＝－10，f(2)＝ln2－12＝ln2eln1＝0，f(1.5)＝ln1.5－23＝13(ln1.53－2)．因为1.53＝3.375，e241.53，故f(1.5)＝13(ln1.53－2)13(lne2－2)＝0，f(1.5)f(2)0，下一个有根区间是[1.5,2].课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第三章函数的应用二分法的概念下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第三章函数的应用本题可结合二分法的概念，判断是否具备使用二分法的条件.课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第三章函数的应用[解题过程]利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．答案：B课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第三章函数的应用[题后感悟]二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点的两侧的函数值异号才能求解，所以理解好零点存在定理才能正确地使用二分法．课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第三章函数的应用1.下列函数中，能用二分法求零点的为()解析：须符合连续不间断且零点附近对应函数值符号相异，故选B.答案：B课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第三章函数的应用用二分法求方程的近似解用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1)．要求方程2x3＋3x－3＝0的正实根，可转化为用二分法求函数f(x)＝2x3＋3x－3的正的零点，故首先要选定初始区间[a，b]，满足f(a)·f(b)0，然后逐步逼近.课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第三章函数的应用[解题过程]令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－30，f(1)＝20，f(0)·f(1)0，所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解．取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)0，又f(1)0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如下表：课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第三章函数的应用(a，b)中点cf(a)f(b)fa＋b2(0,1)0.5f(0)0f(1)0f(0.5)0(0.5,1)0.75f(0.5)0f(1)0f(0.75)0(0.5,0.75)0.625f(0.5)0f(0.75)0f(0.625)0(0.625,0.75)0.6875f(0.625)0f(0.75)0f(0.6875)0(0.6875,0.75)|0.6875－0.75|＝0.06250.1课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第三章函数的应用由于|0.6875－0.75|＝0.06250.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解．[题后感悟](1)二分法解题流程：课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第三章函数的应用(2)二分法中对结果要求的“精确度”与“精确到”有何区别？精确度为0.1，是指二分法停止二分区间时，区间[a，b]的长度|b－a|0.1，此时a(或b)即为零点近似值．而精确到0.1，是指a，b四舍五入精确到0.1的近似值相同，这个相同的近似值即为零点近似值．课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第三章函数的应用2.利用计算器求方程lgx＝3－x的近似解(精确度0.1)．课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第三章函数的应用解析：作出y＝lgx，y＝3－x的图象可以发现，方程lgx＝3－x有唯一解，记为x0，并且解在区间(2,3)内．设f(x)＝lgx＋x－3，用计算器计算，得f(2)0，f(3)0，∴x0∈(2,3)；f(2.5)0，f(3)0⇒x0∈(2.5,3)；f(2.5)0，f(2.75)0⇒x0∈(2.5,2.75)；f(2.5)0，f(2.625)0⇒x0∈(2.5,2.625)；f(2.562)0，f(2.625)0⇒x0∈(2.562,2.625)．∵|2.625－2.562|＝0.0630.1∴方程的近似解可取为2.625(不唯一)．课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第三章函数的应用函数零点与方程解的个数问题确定函数f(x)＝log12x＋x－4的零点个数．课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第三章函数的应用[解题过程]设y1＝log12x，y2＝4－x，则f(x)的零点个数即y1与y2的交点个数，作出两函数图象，如图．由图知，y1与y2在区间(0,1)内有一个交点，当x＝4时，y1＝－2，y2＝0，当x＝8时，y1＝－3，y2＝－4，∴在(4,8)内两曲线又有一个交点，∴两曲线只有两个交点，即函数f(x)＝log12x＋x－4有两个零点．课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第三章函数的应用[题后感悟](1)本题考查函数零点个数问题，这个知识点主要包括以下几个类型：①一元二次方程通常用判别式来判断根的个数．②指数函数和对数函数等函数的零点个数问题我们一般用图象来解决．(2)利用函数的单调性来判断函数零点的个数．如果已知函数f(x)在其定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第三章函数的应用3.若把函数中的底数“12”改为“2”，即“f(x)＝log2x＋x－4”又如何确定其零点的个数．课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第三章函数的应用解析：设y1＝log2x，y2＝4－x则f(x)的零点个数即y1与y2的交点个数，作出两函数图象由图知，y1与y2在区间(2,3)有一个交点当x＝2时，y1＝1，y1＝2当x＝3时，y1＝log231，y2＝1∴在(2,3)内两曲线有一个交点．∴函数f(x)＝log2x＋x－4只有一个零点．课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第三章函数的应用4．求下列函数的零点个数．(1)f(x)＝2x＋2x－6；(2)f(x)＝log12x＋2x－3.课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第三章函数的应用解析：(1)2x＋2x－6＝0，即2x＝6－2x，在同一坐标系中作出y＝2x和y＝6－2x的图象，如图(1)，可知有一个交点．故函数f(x)＝2x＋2x－6有一个零点．课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第三章函数的应用(2)在同一坐标系内作出y＝log12x和y＝3－2x的图象，如图(2)，可知有两个交点，故f(x)＝log12x＋2x－3有两个零点．课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第三章函数的应用1．准确理解“二分法”的含义顾名思义，二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2．运用二分法求方程f(x)＝0的实数解应注意以下几点(1)条件：函数y＝f(x)的图象在[a，b]上为一条连续曲线，且f(a)·f(b)＜0时，方可使用二分法．课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第三章函数的应用(2)技巧：①在选择实数解所在的大致区间时，应尽可能地使其长度越小越好．②利用表格展现二分法求方程实数解的过程时，表格一般可分为三列：第一列是运算次数；第二列是左端点值；第三列是右端点值．后两列决定了运算的终止与否，当左端点与右端点满足要求精确度的近似值相同时，即可终止运算．课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第三章函数的应用◎用二分法求方程x2－5＝0的一个非负近似解(精确度为0.1)．【错解】令f(x)＝x2－5，因为f(2.2)＝2.22－5＝－0.160，f(2.4)＝2.42－5＝0.760，所以f(2.2)·f(2.4)0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，f