考研数学第五章+定积分

知识要点讲解一、定积分的概念与基本性质、基本定理二、定积分的计算三、积分计算技巧四、反常积分五、定积分的几何应用六、定积分的简单经济应用一、定积分的概念与基本性质、基本定理1.定积分的定义设函数)(xf在],[ba上有界，记},,,max{21nxxx，如果不论对],[ba在],[ba中任意插入若干个分点bxxxxxann1210把区间],[ba分成n个小区间，各小区间的长度依次为1iiixxx，),2,1(i，在各小区间上任取一点i（iix），作乘积iixf)(),2,1(i定义并作和，iinixfS)(1怎样的分法，baIdxxf)(iinixf)(lim10被积函数被积表达式积分变量积分区间],[ba也不论在小区间],[1iixx上点i怎样的取法，只要当0时，和S总趋于确定的极限I，我们称这个极限I为函数)(xf在区间],[ba上的定积分，记为积分和积分下限积分上限几点说明:(1)积分值仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量的字母无关,即.)()()(bababaduufdttfdxxf(2)定义中区间的分法和i的取法是任意的.(3)当函数)(xf在区间],[ba上的定积分存在时,称)(xf在区间],[ba上可积.（4）;0)(dxxfba.)()(dxxfdxxfabbaba时,当时,ba当2.定积分的几何意义、函数的可积性,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积的负值abxyooyabx几何意义积取负号．轴下方的面在轴上方的面积取正号；在数和．之间的各部分面积的代直线的图形及两条轴、函数它是介于xxbxaxxfx,)(1A2A3A321)(AAAdxxfbaxyo定积分存在定理定理1定理2若函数)(xf在区间],[ba上连续,则)(xf在区间],[ba上可积.若函数)(xf在区间],[ba上有界,且只有有限个间断点,在区间则)(xf],[ba上可积.3.定积分的基本性质性质1dxxgxfba)]()([.)()(dxxgdxxfbaba性质2dxxfkdxxkfbaba)()(k(为常数).性质3设,bca则.)()()(dxxfdxxfdxxfbccaba补充:不论cba,,的相对位置如何,上式总成立.性质4dxdxbaba1ab性质5,0)(xf则0)(dxxfba).(ba如果在区间],[ba上推论1上如果在区间],[ba),()(xgxf则dxxgdxxfbaba)()().(ba推论2dxxfdxxfbaba|)(||)(|).(ba性质6设M及m分别是函数)(xf在区间],[ba上的最大值及最小值,则dxxfabmba)()().(abM性质7(定积分中值定理)如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续,则在积分区间(,)ab上至少存在一个点,使))(()(abfdxxfba).(ba积分中值公式4.基本定理定理１如果)(xf在],[ba上连续，则积分上限的函数dttfxxa)()(在],[ba上具有导数，且它的导数是)()()(xfdttfdxdxxa)(bxa定义设函数)(xf在区间],[ba上连续,x为],[ba上的变量,则dttfxxa)()(变上限定积分推论)()]([)()(xxfxxf)()()()(xxdttfdxdxF(3)dttfxFxx)()()()(则)(xF的导数为如果)(tf连续，)(x、)(x可导，（1）)(])([)()()(xfdttfxFdttfxFxaax则（2）)())((])([)()()()()(xxfdttfxFdttfxFxaxa则定理如果)(xf在],[ba连续,则积分上限的函数dttfxxa)()(就是)(xf在],[ba上的一个原函数.定理若)(xF是连续函数)(xf在区间],[ba上的一个原函数,则baaFbFdxxf).()()(牛顿－莱布尼茨公式5.奇偶函数与周期函数的积分性质定理则当)(xf在上连续,],[aa(1)当)(xf为偶函数,有;)(2)(0aaadxxfdxxf(2)当)(xf为奇函数,有.0)(aadxxf二、定积分的计算1.定积分的分项积分法与分段积分法2.定积分的换元积分法定理假设)(xf在],[ba上连续,函数)(tx满足条件:(1),)(a;)(b(2))(t在],[上具有连续导数,且其值域不超出],,[ba则有.)(')]([)(dtttfdxxfba定理若)(xu、)(xv在区间],[ba上具有连续导数,则有.][bababavduuvudv定积分的分部积分公式三、积分计算技巧1.利用定积分的几何意义直接得出某些定积分的值。2.利用对称区间上奇偶函数的积分性质。3.利用周期函数的积分性质。4.利用几个常用积分公式。5.利用被积函数的分解与结合。四、反常积分定义1设函数)(xf在区间上连续,),[a如果极限babdxxf)(lim存在,则称此极限为)(xf在),[a上的广义积分记为;)(lim)(dxxfdxxfbaba此时,就说广义积分dxxfa)(收敛,若极限dxxfbab)(lim不存在,则称广义积分dxxfa)(发散.1.无穷区间上的反常积分类似地,可定义广义积分dxxfb)(.)(limdxxfbaa定义2函数)(xf在区间),(上广义积分定义为aadxxfdxxfdxxf)()()(其中为任意实数,a当上式右端两个积分都收敛时,称广义积分dxxf)(是收敛的,否则,散的.称其是发定义1设函数)(xf在区间],(ba上连续,右邻域内无界,取,0如果极限badxxf)(lim0存在,则称此极限为函数)(xf义积分,记作而在点a的在区间],(ba上的广babadxxfdxxf)(lim)(0当极限存在时,称广义积分收敛,否则称为发散.类似地,函数)(xf在区间),[ba上的广义积分,记作.)(lim)(0babadxxfdxxf定义2设函数)(xf在区间],[ba上除点c)(bca2.无界函数的反常积分定义2设函数)(xf在区间],[ba上除点c)(bca外连续,而在点c的邻域内无界,区间],[ba上的广义积分定义为则函数)(xf在,)()()(bccabadxxfdxxfdxxf当上式右端两个积分都收敛时,称广义积分badxxf)(是收敛的,否则,无界函数的广义积分又称为瑕积分.定义中函数)(xf的无界间断点称为瑕点.称广义积分是发散的.badxxf)(3.几个常见的反常积分11dxxp当1p时,收敛,其值为;11p当1p时,发散.（1）101dxxq收敛,当时,1q其值为;11q发散.当时,1q（2）4.反常积分的计算)()()()(aFFxFdxxfaa).()()()(FbFxFdxxfbb).()()()(FFxFdxxf五、几何应用（一）平面图形的面积xyo)(xfyabxyo)(1xfy)(2xfyab曲边梯形的面积badxxfA)(曲边梯形的面积badxxfxfA)]()([12xxxxx穿针法或微元素法被积函数上-下、右-左1.直角坐标系情形设由曲线)(r及射线、围成一曲边扇形，求其面积．这里，)(在],[上连续，且0)(．xodd面积元素ddA2)]([21曲边扇形的面积.)]([212dA2.极坐标系情形)(r如果曲边梯形的曲边为参数方程)()(tytx曲边梯形的面积21()().ttAttdt（其中1t和2t对应曲线起点与终点的参数值）在[1t,2t]（或[2t,1t]）上)(tx具有连续导数，)(ty连续.3.边界曲线方程由参数方程给出的平面图形的面积（二）立体的体积1.平行截面面积为已知的立体体积如果一个立体不是旋转体，但知道该立体上垂直于一条定直线的各个截面的面积，那么该立体的体积可以用定积分计算。取上述定直线为x轴，并设该立体位于过点x=a，x=b且垂直于x轴的两平行平面之间，以A(x)表示过点x且垂直于x轴的截面面积，其中A(x)为x的连续函数，则可用微元法得立体的体积为babadxxAdVV)(旋转体可以看作是由连续曲线)(xfy、直线ax、bx及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体旋转体的体积为dxxfVba2)]([2.旋转体的体积（三）函数在区间上的平均值六、定积分的简单经济应用1.由边际函数求原经济函数对一已知经济)(xF)(PQ、总成本函数)(xC、总收入函数)(xR等),函数)(xL的导函数。作为导数(微分)的逆运算,若对已知的边际函数)(xF求不定积分,则可求得原经济函数dxxFxF)()((如需求函数它的边际函数就是它其中,积分常数C可由经济函数的具体条件确定.和利润需求函数需求量Q是价格P的函数),(PQQ一般地,价格0P时,需求量最大,为,0Q即00|)(PPQQ若已知边际需求为),(PQ则总需求函数)(PQ为dPPQPQ)()(设最大需求量其中,积分常数C可由条件00|)(QPQP确定.或用变上限的定积分表示为)(PQ.)(00PQdttQ总成本函数设产量为x时的边际成本为),(xC固定成本为,0C则产量为x时的总成本函数为)(xCdxxC)(其中,积分常数C由初始条件0)0(CC确定.或者变上限的定积分公式直接求得总成本函数)(xC其中,0C为固定成本,xdttC0)(为变动成本.xCdttC00)(总收入函数设产销量为x时的边际收入为),(xR则产销量为x时的总收入函数dxxRxR)()(其中,积分常数C由0)0(R确定定产销量为0时总收入为0).或由变上限的定积分公式直接求得总收入函数)0)0((R.)()(0xdttRxR(一般地假可由不定积分公式得