2011年11月日考研第四章-不定积分

1第四讲不定积分2Ⅰ.基本内容一、原函数的概念1.原函数的定义：如果在开区间I内，可导函数)(xF的即当Ix时，)()(xfxF或那么函数)(xF称为f(x)在区间I内的一个原函数.，)(xf导数为xxfxFd)()(d1,0()1,0xfxx如:1,1在上有原函数吗？.无原函数()1,1()Fxxxfx是的原函数吗？.不是0().()().xFxxFxfx不可即导因为在点32.原函数存在的充分条件如果函数)(xf在开区间I内连续，那么在I内存在可导函数，)(xF使)()(xfxF简言之：连续函数一定有原函数.反之不一定成立112cossin,00,0()xxxxxxf又如:有原函数：21co()s,00,0xxFxxx()((,))Fxfx在内有，()0.fxx但在处不连续4初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数3.原函数的结构定理：((,))fFxx(一个1若是的原函数)()+FxC则都是.()fx的原函数(),()(,)FxGxfx(2)若都是原函数的()()FxGx则与只差一个常数.5二、不定积分的概念与性质函数)(xf在开区间I内的所有原函数，CxF)(称为函数)(xf的不定积分.记为1.定义：.d)(xxf任意常数积分号被积函数积分变量被积表达式CxFxxf)(d)(()()()d()FxfxfxxFxC6.d)(xxfk(3)()dkfxx(k是常数，)0k(4)[()()]dfxgxx;d)(d)(xxgxxf2.不定积分的性质：d(1)dx()dfxx()fxd()dfxx()dfxx或2)d(()()xFCxFx或(()d)CFxFx先积后微，函数不变.先微后积，C函数加7Ⅱ.不定积分的计算一、基本积分公式(24个):①幂2个②指2个③三角10个④有理式4个⑤无理式4个ddKxxx，ddxxexax，sindcosdxxxx，，22secdcscdxxxx，，sectandxxx，csccotd.xxx2dd,1xxxx，22211d,d,1xxxaxsecdcscd,xxxx，tandcotd,xxxx，2222dd.xxaxxa221d.xxa注意:这些公式在被积函数的连续区间内成立,本章常把这个区间省去不写,第五章自然要考虑这个区间.(22)个8幂函数，指数函数的积分公式：Kx+C1(1);1xC(1)dKx(2)dxx;Cex;lnCaax(3)dxex(4)dxax9CxxcotcsclnCxcoslnCxsinlnCxxtansecln(3)tandxx(4)cotdxx(6)cscdxx(5)secdxx;cosCx;sinCx(1)sindxx(2)cosdxx;tanCx;cotCx;secCx;cscCx2(7)secdxx2(8)cscdxx(9)sectandxxx(10)csccotdxxx三角函数的积分公式：10;arctanCx21(2)d1xxd(1)xxln;xC1arctanxCaa1ln2xaCaxa221(4)dxxa221(3)dxax有理函数的积分公式：11;arcsinCx21(1)d1xx221(2)dxaxCaxarcsin221(4)dxxa22ln[].xxaC221(3)dxxa22ln.xxaC无理函数的积分公式：12二、不定积分计算的基本方法：1.直接积分法：(恒等变形后用公式)通过恒等变形,利用基本积分公式和积分性质求不定积分的方法.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式dduvuvvu2.分部积分法:使用原则:1)v容易求得;容易计算.经验:把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的顺序,前者为.u133.换元积分法第一类换元法(也称凑微分法)第二类换元法第一类换元法:定理1.(),(),fuux设有原函数可导则有换元公式()dfuu()ux[()]FxC令()xu()FuC回代()ux()dgxx[()]fxd)]([x若能若好求()dfuu使用方法：14定理2.设是单调可导函数,且()0,t具有原函数,1()()d[()]()dtxfxxfttt1()().txxt其中是的反函数则有换元公式第二类换元法:使用方法：(易积)[()]()dfttt()dfxx()xt令[]()()dtft()FtC1[()].FxC其中：1()().txxt是的反函数)(1xt回代如何找(?)xt靠经验！单调可导,且()0,t15经验:第二类换元法常见类型:1)(,)d,naxbfxx2)(,)d,axbncxdfxx223)(,)d,axfxx224)(,)d,axfxxntaxb令；axbncxdt令；根式代换sinxat令；tanxat令；225)(,)d,xafxxsecxat令；三角代换7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换6)()d,xxfxaat令；1.xt注意:灵活运用以上代换,以上规律并不是绝对的.164.几种特殊类型积分的一般积分方法有理函数分解多项式及部分分式之和指数函数有理式指数代换三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换11101110()()(),nnnnnmmmmmPxaxaxaxaQxbxbxbxbmn有理函数：为正整数17(sin,cos)dRxxxtan,2xu设2arctanxu万能代换,12sin2uux,11cos22uux22dd1xuusinco(,)sdxxRx2222d212,.111uuuuRuu18注意:(1)一般方法不一定是最简便的方法,(3)初等函数的原函数不一定是初等函数,要注意综合使用各种基本积分法,进行简便计算.因此不一定都能积出.初等函数求导初等函数积分例如,2d,xexsind,xxx2sind,xx1d,lnxx4d,1xx221sind(01),kxxk(2)所用的方法不同,有时同一个积分的结果不同.22sincossin2:sincosd224xxxxxxCCC如192(),(ln)d1..xefxxfxx若是的原函数则例解xe，lnxe(ln)fx1x2(ln)dxfxx21()dxxxdxx212xC(ln)(),d.2.xfxfxexx若是的原函数则例01lnCxCx解已知()xfxe0()xfxeC01(ln)fxCx02(ln)1Cfxxxx02(ln)1d()dCfxxxxxxⅡ.典型例题分析20()cos,xfxex解()d?fxx求1()-sin,xfxexC其原函数为：()dfxx()cos).(3,xfxexfx已知函数的导函数是则例的一个原函数是()cos;sin;cos;sin.xxxxexexexex(A)(B)-(C)-(D)-sindxexx12cosxexCxCA21()(.)4xfxxd例()();()();xfxfxxCxfxfxC(A)d(B)()xfxxd解()xfxd()()xfxfxxd()().xfxfxCC5.(),fxl若是以为周期的连续函数则其原函数(例)ll(A)是以为周期的函数；(B)是周期函数,但周期不是；周期连续函数的原函数不一定是周期函数，解如：()=1+cosfxx是周期连续函数，其原函数()=+sinFxxxC不是周期函数.()();()().xfxfxCfxxfxC(C)(D);.(C)不是周期函数(D)不一定是周期函数不一定是周期函数.D22cos6.(),()d.xfxxfxxx若的一个原函求例数是解()dxfxxd()xfx()xfx()dfxxcosxxxcosxCxsinxcos2xCx说明:此题若先求出再求积分反而复杂.()dxfxx22sin2coscosdxxxxxxcos()xfxx已知，cos()dxfxxCx232311.d1xxx例7.求下列不定积分:2d12xxx(22)5x1d2uuCu3311d(1)31xx3213xC1323(1)1d(1)3xx2232.d12xxxx22d(12)12xxxx522(1)xd(1)x2212xx15arcsin2xC3321d(1)321xx221darcsinxxCaax244sincos1.d1sinxxxx4sind(sin)1sinxxx241d(sin)21sinxx21arctan(sin)+.2xC4sincosd1sinxxxx又解221sin2d21(sin)xxx21-d(cos2)121cos221()2xx例8求下列不定积分252d2.2cosxx22secd2sec1xxx22secd2(tan1)1xxx2d(tan)12tanxx21d(tan)12tan2xx12arctan(2tan).2xC22d1arctanuuCauaa262d3.1xxe2d()1xxxee2d()()1xxee2ln(1).xxeeC2222dln()uuauCau62d4.(1)xxx6662(1)d(1)xxxxx56621dd(1)(1)xxxxxx2762d4.(1)xxx56621dd(1)(1)xxxxxx6656621dd(1)(1)xxxxxxxx556621ddd1(1)xxxxxxxx6666211d1dd616(1)xxxxxx6611lnln(1).66(1)xxCx28例9求下列不定积分2d1..1xxx解法10x当时，sin,xt令0,2t2d1xxx2dsinsin1sintttcosdsincosttttcscdttlncsccotttCtx121x211lnxCxx29例9求下列不定积分2d1..1xxx0x当时，,xt令0,t2d1xxx2d1ttt211lnxCxx2d1ttt211lntCtt211lnxCxx211lnxCxx30解法20x当时，原式22d11xxx21d()1()1xx12d1txtt设2ln1ttC211ln1.Cxx0x当时类似.例9求下列不定积分2d1..1xxx3122d2..1xxx解0x当时，tan,xt令0,2t原式22secdtansectttt2d(sin)sinttcsctCtx121x21.xCx0