2014考研数学基础课件第4章不定积分

1第四章不定积分Ⅰ.基本概念Ⅱ.不定积分的计算2Ⅰ.基本概念一、原函数的概念1.原函数的定义：如果在开区间I内，可导函数)(xF的xI即当时，)()(xfxF或()Fx则函数称为f(x)在区间I内的一个原函数.，)(xf导数为xxfxFd)()(d2.原函数存在的条件简言之：连续函数一定有原函数.定理1.存在原函数.3定理1.存在原函数.即在I内一定存在可导函数使()Fx()()Fxfx初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数3.原函数的结构定理：(1)()()Fxfx若是的一个原函数，()()FxCfx则都是的原函数.(2)若)(),(xGxF都是)(xf的原函数，一个常数.()()FxGx则与只差41.定义：在区间I上的全体原函数称为上的不定积分,()d,fxx其中—积分号;—被积函数;—被积表达式.—积分变量;有定义知：若()()Fxfx()d()fxxFxC(C为任意常数)C称为积分常数,不可丢!例如：dxexxeCsindxxcosxC记作二、不定积分的概念与性质5()()()d()FxfxfxxFxC2.不定积分的性质：(1)ddx()dfxx()fxd()dfxx()dfxx或d2)(()()xFCxFx或(()d)CFxFx先积后微,函数不变.先微后积,函数加C.()d.kfxxd(3)()kfxx(k是常数，)0k[()()]4)d(fxgxx()d()d;fxxgxx6例1.2(ln)d.xfxx解:xelnxe(ln)fx1x212xC2(ln)ddxfxxxx例2.(ln)d.fxxx01lnCxCx解:已知()xfxe0()xfxeC01(ln)fxCx02(ln)1Cfxxxx02(ln)1d()dCfxxxxxx7例3.若()1sin;Ax()1sin;Bx的导函数为则的一个原函数是().()1cos;Cx()1cos.Dx提示:已知()sinfxx求即B()()fx()()sinfxx??或由题意1()cos,fxxC其原函数为()dfxx12sinxCxC8例4.已知解：由已知()dxfxxd()xfx()xfx()dfxxcosxxxcosxCxsinxcos2xCx说明:此题若先求出再求积分反而复杂.()dxfxx22sin2coscosdxxxxxxcos()xfxx，cos()dxfxxCx9Ⅱ.不定积分的计算一、基本积分公式(24个):①幂2个②指2个③三角10个④有理式4个⑤无理式4个ddKxxx，ddxxexax，sindcosdxxxx，，22secdcscdxxxx，，sectandxxx，csccotd.xxx2dd,1xxxx，22211d,d,1xxxaxsecdcscd,xxxx，tandcotd,xxxx，2222dd.xxaxxa221d.xxa注意:这些公式在被积函数的连续区间内成立,本章常把这个区间省去不写,第五章自然要考虑这个区间.(22)个10幂函数，指数函数的积分公式：Kx+C1(1);1xC(1)dKx(2)dxx;Cex.lnxaCa(3)dxex(4)dxax11CxxcotcsclnCxcoslnCxsinlnCxxtansecln(3)tandxx(4)cotdxx(6)cscdxx(5)secdxxcos;xCsin;xC(1)sindxx(2)cosdxxtan;xCcot;xCsec;xCcsc.xC2(7)secdxx2(8)cscdxx(9)sectandxxx(10)csccotdxxx三角函数的积分公式：12;arctanCx21(2)d1xxd(1)xxln;xC1arctan;xCaa1ln.2xaCaxa221(4)dxxa221(3)dxax有理函数的积分公式：13;arcsinCx21(1)d1xx221(2)dxaxarcsin;xCa221(4)dxxa22ln[].xxaC221(3)dxxa22ln;xxaC无理函数的积分公式：14二、不定积分计算的基本方法：1.直接积分法：(恒等变形后用公式)通过恒等变形,利用基本积分公式和积分性质求不定积分的方法.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式dduvuvvu2.分部积分法:使用原则:1)v容易求得;容易计算.经验:把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的顺序,前者为.u153.换元积分法第一类换元法(也称凑微分法)第二类换元法第一类换元法:定理1.(),(),fuux设有原函数可导则有换元公式()dfuu()ux[()]FxC令()xu()FuC回代()ux()dgxx[()]fxd)]([x若能若好求()dfuu如何用这个公式？16定理2.设是单调可导函数,且()0,t具有原函数,1()()d[()]()dtxfxxfttt1()().txxt其中是的反函数则有换元公式第二类换元法:如何用这个公式？(易积)[()]()dfttt()dfxx()xt令[]()()dtft()FtC1[()].FxC其中：1()().txxt是的反函数)(1xt回代如何找(?)xt靠经验！单调可导,且()0,t17经验:第二类换元法常见类型:1)(,)d,nnaxtfxabbxx令；2)(,)d,aaxbncxndxbcxdtfxx令；223)(,)d,sinfxxtxxaa令；224)(,)d,tanfxxtxxaa令；225)(,)d,secfxxtaxxa令；7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换6)()d,xxfxaat令；1.xt根式代换三角代换注意:灵活运用以上代换,以上规律并不是绝对的.18有理函数分解多项式及部分分式之和指数函数有理式指数代换三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换4.几种特殊类型积分的一般积分方法:11101110()()(,)nnnnnmmmmmPxaxaxaxaQxbxbxbxbmn有理函数：为正整数19注意:(1)一般方法不一定是最简便的方法,(3)初等函数的原函数不一定是初等函数,要注意综合使用各种基本积分法,进行简便计算.因此不一定都能积出.初等函数求导初等函数积分例如,2d,xexsind,xxx2sind,xx1d,lnxx4d,1xx221sind(01),kxxk(2)所用的方法不同,有时同一个积分的结果不同.22sincossin2:sincosd224xxxxxxCCC如202311)d1xxx例5.求下列不定积分:2d12xxx(22)5x1d2uuCu3311d(1)31xx3213xC1323(1)1d(1)3xx2232)d12xxxx22d(12)12xxxx522(1)xd(1)x2212xx15arcsin2xC2105年的考研题解1:原式22d3)(2)1xxxx1tu21tud2dtuu2221d()2(2)1xxx1d2(2)1ttt2tx212d2(1+)uuuu解2:令sin,xt22211sincos,xttdcosdxtt22sintcostd(2sin)1sinttt原式2sintd2sintt2d(cos)1costtarctan(cos)tC2arctan1xC22解：222sincos1sin4)d.2sinxxxxx利用凑微分法,原式=令得221sin2sinxx2d(1sin)x21sintx222d1ttt212(1)d1tt2t2arctantC2221sinarctan1sinxxC23解:原式=tan2xu前式令;后式配元2211darctanuuCuaaa221113uu22d1uu2422sin,1txt221cos,1txt22dd1xtt416)dsinxx解法1:令tan,2xt解法2:令tan,tx则arctanxt21dd1xtt21cos1xt2sincostan1txxxt该法适用于含的偶次幂.sin,cosxx解法3:2222441sin+cosdd=csc(1cot)dsinsinxxxxxxxxx222cscdcsccotdxxxxx4242111ddsin1+()1xttxtt422211d1+(1)tttt241+dttt25cos7)d.1cosxxx2cos(1cos)d(1cos)xxxx原式22coscosdsinxxxx2(cotcsccot)dxxxx2cotcscd(csc1)dxxxxxcsccotxxxC解:技巧：化分母为单项式.1d(sin)1+cosxx原式另解:sin1sind()1+cos1cosxxxxsin1cosxx2sinsind(1cos)xxxx2tand2xx2(sec1)d2xxsin1cosxx22sind(1cos)xxxsin1cosxxsin1costan21cossinxxxxx26a(r11cs3,in10)lnd.xxxx求不定积年数分分2(arcsinln)214xxxxxC2,,d2dxtxtxtt提示：令则arcsinlndxxxxarcsin2ln2dttttt2arcsind4lndtttt22[arcsind]4[lnd]1tttttttt22[2arcsind]4[ln]1tttttttt22arcsin214ln4ttttttC27d8).1xxe解法1:(1)d1xxxeexedxd(1)1xxeeln(1)xxeC解法2:d(1)xxxexeed()(1)xxxeeed(1)ttt11[]d1tttlnln(1)ttCln(1)xxeC解法3:d1xxexed(1)1xxeeln(1)xeCxet令28解:原式2223d32xxxxx23223()d1()xxx2322233d()1ln1[()]xxdlndxxaaax（）23arctan()ln2ln3xC12d()23ln3x分母次数较高,宜使用倒代换.解:令1,tx则,故6t4221(1)d1tttt令tanxt如何？29解法1：(先分部,再换元)1,xue令22dd1uxuu则30解法2：(先换元,再分部)令1,xue则故22ln(1)duu22ln(1)uu1131(1)dduvxuv(1)(1)duvu