二次函数图像中的三角形面积最大值的探讨

爱上数学提高素养熊老师初中数学工作室二次函数图像中的三角形面积最大值的探讨呕心写于2018.03.11晚二次函数图像中的三角形面积最值问题，有一个奇妙的结论，如图，当点E线段AB的中点时，△PAB的面积取最大值。为了探讨这个结论是否成立，我们给出一个一般情况下的二次函数。如图，若二次函数（﹥0）与直线交与A、B两点，点P为抛物线上的一动点，且在直线AB的下方，，交AB于E，当△PAB的面积最大时，点E是AB的中点吗？探讨如下：（1）先求AB的中点的横坐标。∴线段AB中点的横坐标为.（2）再求△PAB的面积取最大值时的点P的横坐标。过点P作，交AB于E，则得：，求△PAB面积的最大值，就是求线段PE的最大值。设点P的横坐标为m，则∴当时，PE取到最大值。由（1）（2）得，当△PAB的面积取最大值时，点P的横坐标与线段AB的横坐标相同，即点E是线段AB中点时，△PAB的面积取到最大值。对于二次函数的系数﹤0时，结论同理可证。例.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（6，8），连接OA，将线段OA绕原地O逆时针旋转至x轴负半轴上，得到线段OB.（1）求点B的坐标;（2）求经过AOB三点的抛物线的解析式;（3）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在X轴的下方，△PAB是否有最大面积？若有，直接写出此时P点的坐标；若没有，请说明理由.解析：（1）易知B（-10，0）（2）（3）由点A（6,8）和点B（-10,0），可以得出线段AB中点的坐标为（-2,4）爱上数学提高素养熊老师初中数学工作室当利用上面的结论，对于这种问题直接求点的坐标可以迅速得解。对于直接求点的坐标问题，或是直接求三角形面积最大值问题，可以使问题简单明了。掌握了这个结论对于解题或检验自己解题是否正确有一定的作用。练习：在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(−4,0),B(0,−4),C(2,0)三点。(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值。