高量14-电子气

1§32离散本征值情况§32-1基矢B若具有离散谱，理论还可简化。有时有些物理量本来是连续的，也设法把它的本征谱变成离散的。例如可以用箱归一化，使动量的本征值成为离散的，从而建立离散的动量占有数表象。B表象的对称化基矢nsrPpsrbbbPnbbb21!12基矢的正交归一化关系式ssrrPpsrsrPnbbbbbb!1一、离散B表象中对称化基矢与占有数表象基矢的关系针对离散本征值的特点作两点改变：a.改变基矢的名称，也就是改变表示基矢的记号的写法；b.改变基矢的归一化，因为这时有可能把一切Fock空间中的基矢都归一化为1。3设b1出现的次数为n1，b2为n2，…bl为nl，那么也可以用一组数字n1,n2,…nl…来表示。把基矢写成bbbcnnnsrl21c是一个待定的常数，n1,n2等是在状态|n1n2…nl…中处于第一、第二本征态中粒子的数目。单粒子算符B有多少个本征态，右矢中就有多少个n，有的可以等于0。4系统中的粒子总数llnnnl是正整数或零。对于Fermi子，只能取0和1两个值。规定对于Bose子和Fermi子，若有一个nl0或对于Fermi子有一个nl1，则整个基矢即等于零。n1,n2,…nl,…取满足总和为n的一切可能的组合，构成了n粒子Hilbert空间Rn的全部基矢。5若去掉nnll这一条件，取n1,n2,…nl,…的一切可能取值的组合，|n1n2…nl…就构成了巨Hilbert空间RG的全部基矢。通常把以|n1n2…nl…为基矢的多粒子表象称为占有数表象，nl称为在单粒子算符的第l个本征态中粒子的占有数。6二、正交归一和完全性关系1.标准顺序：对于Fermi子来说，|brbs…bv和|bsbr…bv要相差一个负号，但它们二者都相当于相同的一组n1,n2,…nl,…，那么就发生一个|n1n2…nl…取什么符号的问题。在此，我们取c0，并且约定（32.3）式只对brbs…bv某一标准顺序排列好之后的右矢|brbs…bv成立，这个右矢约定为正。例如标准顺序可以取br≤bs≤…≤bv（或相反的顺序），这样，相同的b（对Bose子）都是排在一起的。72.归一化：bbbbbbcnnnnnnsrsrll221211此式右边的内积根据（32.2）式为ssrrPpPn!1式中的算符P表示：令那些δ算符的第一个下标不动，排列其第二个下标。既然这个态中有n1个b等于b1，那么在这个n1个相同的b1作排列时，可产生n1!项不为零的项，每一项都等于1。同样，在n2个相同的b2之间排列，又产生n2!项等于1的项，因此上式为8!!!!1!121lssrrPpnnnnPn代入上面的归一化关系式，得!!!!21lnnnnc所以bbbnnnnnnnsrll!!!!2121式中等号右边的右矢中brbs…bv是按照标准顺序排列的。按这种方式定义的|n1n2…nl…满足正交归一化关系llnnnnnnllnnnnnn22112121对于Fermi子，bbbnnnnsrl!2193.完全性关系：对于总粒子数不变的系统，完全性关系是1)(212112llnnniinnnnnnnnl巨Hilbert空间的完全性关系为1212112llnnnnnnnnnl巨Hilbert空间中的任何矢量可以展开为这些基矢的叠加llnnnnnnnnnl21211210§32-2产生算符和消灭算符一、产生算符)(lbabbbbnbbbasrlsrl1式中右矢中的brbs…bv应按标准顺序排列。bbbbnnnnnbbbannnnnnnasrllsrllll1!!!!!!!!21212111为了把上式最右边的右矢变回成|n1n2…nl…的形式，必须首先把其中的blbrbs…bv变回成标准顺序。如果bl不是最小的，就应当向右移，在移到自己应在位置之前，一定要同n1个b1的对调，同n2个b2对调，……一直到同nl-1个bl-1对调（当某些bm不出现时，即这个态没被占居时，nm=0），因而产生一个符号因子121lnnnl即1)!1()!1(!!2121llllsrlsrlnnnnnnnbbbbbbbb12将其代回上式得112121lllllnnnnnnna二、消灭算符la][11usrlntrlstsrlsrlbbbbbbbbbnbbba若等号左边右矢中b处于标准顺序，则右边各个右矢也是如此。13bbbbbbannnnnnnalnlllsrllll个!!!!2121此式等号右边的右矢是按照标准顺序排列的，其中有nl个bl，而第一个bl前面有n1+n2+…+nl-1个小于bl的b，故l≠r,s,…。。于是在（32.12）中，等号右边括号中前面很多项都是零，不为零的应该从第(n1+n2+…+nl-1)+1项（注意不是从nl项）开始，这一项前面的符号因子应该是lnnnl12114不为零的项一共有nl项，它们都是一样的，符号因子也一样，因为Fermi子只有一项，而Bose子ε=1。因此由（32.12）式有bbbbbnnbbbbbbalnllsrlllllsrl个1|左边右矢中有nl个bl，而右边右矢中有nl-1个bl。于是最后al的对|n1n2…nl的作用是12121lllllnnnnnnna15三、对易关系llllllllllllllaaaaaaaaaaaa00''§32-3占有数算符一、占有数算符lllaaNNl称为处于bl态的粒子数算符或占有数算符16将Nl作用于基矢|n1n2…nl…上，得llllllllllllllllnnnnnnnnnnnnnannnaannnN21212121211)1(1对于一个全同粒子系统，当单粒子算符B指定之后，就可以建立B的占有数表象。对于B的每一本征态|bl，有一个占有数算符lllaaN全部占有数算符的共同本征矢量就是系统的占有数表象的基矢。这就是把以|n1n2…nl…为基矢的表象称为占有数表象的原因。17二、总粒子数算符三、对易关系lmmmllmmmlaaNaaN],[],[lNN它对于基矢的作用是liilnnnnnnnN2121)(总粒子数算符那些本征值为n的本征矢量全体构成了对称化的n粒子Hilbert空间Rn。18§32-4算符的二次量子化形式在离散本征值的情况下，全同粒子系统的一般算符G的二次量子化的形式成为lmlmllbbbblmmlmlmlllbbllaabbgbbaaabgbaGGG)(!21)2()1()2()1(例题：计算全同粒子系统的总轨道角动量的二次量子化形式。总轨道角动量平方算符是19332112222222(1)(2)[][][][][][][]innjmminjmixiyizixjxiyjyizjziijixiyizizjzijixjyiyjxiijiizjzijiijiijiijLLLLeLeLLLLLLLLLLLLLLLLiLLiLLLLLLLgg这是L2的单体算符与双体算符之和的形式。20现在,)(,,,,2lmzabalmbLLLB利用1,)1)(()1(22mlmlmllmLlmmlmLlmlllmLz代入到（32.21）式的相应单体和双体项中，容易得出mllmmllmmlmllmmllmmllmlmmllmlmaaaamlmlmlmlaaamamaallL1,1,2222)1)(()1)(()1(21§32-5例：反对称的自旋态讨论一个自旋为2的全同粒子系统，共有3个粒子。这时物理量B=Sz，其本征值和相应的消灭算符为本征值消灭算符）记为）（记为）（记为）（记为）（记为(200254321bbbbbaaaaaaaaaa21001222状态|3;b1b2b3可以记为0|3;b2b4b5可以记为写成|n1n2n3n4n5的形式则分别是|11100与|01011。对于s=2的系统，几个自旋算符的二次量子化形式为aaaaaaaaSaaaaaaaaSaaaaaaaaSz4664466422001001123而aaaaaaaaaaS112222)3)(2()3)(2(6在上式取和中σ与ρ与分别取量子数+2，+1，0，-1，-2五值；而在下标上的σ与ρ则分别取相应的,,0,,以（32.25）式最后一式为例1,|)1)((msmsmssmS又当s=2时，2,1,0,1,2m24S-的二次量子化形式为mmmmmmmmmmmmmmaamsmsamsmsmsmsaasmgmsaS1,)1()1)((1,)1)((aaaaaaaaaaaaaaaaaamsmsmmm46644664)1)((0012011021125现在讨论系统的一个反对称态11100下降算符S-逐次作用到这个态上，有234567611010610110241100112011102410101720110124610011120601011720001110SSSSSSS（32.28）（32.27）26用算符Sz作用于（32.27）式以及（32.28）式中，可知它们都是Sz的本征态，对于（32.27）式的本征值为3，对于（32.28）式，本征值依次为2，1，0，-1，-2和-3。证明11100是S2的本征态，即计算11100)(2222CBASSSS可以证明111004111001110018111002222BASS2711100)3)(2()3)(2(11100|1122aaaaSC在上面对σ与ρ的取和中，肯定为零的情况有),,(2),,(2),(12211111aaaaaaaaa无而充其量是因为有即产生两次且因为有消灭两次因为有同时考虑到|11100中后两个粒子数为零，剩下的组合只能是σ101ρ21028这样取和式只剩下三项111001010000|2401000|6)00100|(411100246411100|20200022aaaaaaaaaaaaaaaaaaSC代回（32.29）式得111