抽象函数奇偶性的判定

专题一抽象函数奇偶性的判定及应用探究一：抽象函数的单调性和奇偶性问题抽象函数的具体模型)()()(yfxfyxf)()()(yfxfxyf)()()(yfxfyxf)()()(yfxfxyf类型一：抽象函数证明函数的奇偶性问题①xR，()fx满足()()()fxyfxfy，如何证明()fx为奇函数？②xR，()fx满足()()()fxyfxfy，如何证明()fx为偶函数？类型二：抽象函数证明函数的单调性问题①若,Rx且()()()fxyfxfy、()()()fxyfxfy证明其单调性②若,Rx()()()fxyfxfy、()()()fxyfxfy证明其单调性探究二：函数性质（单调性、奇偶性）定义经典试题一、判断单调性和奇偶性1.判断单调性根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。例1．如果奇函数fx()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那么fx()在区间[]73，上是A.增函数且最小值为5B.增函数且最大值为5C.减函数且最小值为5D.减函数且最大值为5分析：画出满足题意的示意图，易知选B。例2．偶函数fx()在(0)，上是减函数，问fx()在()，0上是增函数还是减函数，并证明你的结论。分析：如图所示，易知fx()在()，0上是增函数，证明如下：任取xxxx121200因为fx()在(0)，上是减函数，所以fxfx()()12。又fx()是偶函数，所以fxfxfxfx()()()()1122，，从而fxfx()()12，故fx()在()，0上是增函数。2.判断奇偶性根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求fx()与fx()的关系。例3．若函数yfxfx()(())0与yfx()的图象关于原点对称，判断：函数yfx()是什么函数。解：设yfx()图象上任意一点为P（xy00，）yfx()与yfx()的图象关于原点对称，Pxy()00，关于原点的对称点()xy00，在yfx()的图象上，yfxyfx0000()()又yfx00()fxfx()()00即对于函数定义域上的任意x都有fxfx()()，所以yfx()是偶函数。二、证明单调性和奇偶性y5O-7-337x-5yOx1.证明单调性例4．已知fx()对一切xy，，满足ffxyfxfy()()()()00，，且当x0时，fx()1，求证：（1）x0时，01fx()；（2）fx()在R上为减函数。证明：对一切xyR，有fxyfxfy()()()。且f()00，令xy0，得f()01，现设x0，则x0，fx()1，而ffxfx()()()01fxfx()()1101fx()，设xxR12，且xx12，则0121fxx()，fxfxxx()[()]2211fxxfxfx()()()2111fxfx()()12，即fx()为减函数。2.证明奇偶性例5．已知fx()的定义域为R，且对任意实数x，y满足fxyfxfy()()()，求证：fx()是偶函数。分析：在fxyfxfy()()()中，令xy1，得ffff()()()()11110令xy1，得ffff()()()()11110于是fxfxffxfx()()()()()11故fx()是偶函数。三、求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。例6．已知fx()是定义在（11，）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足fafa()()2402，试确定a的取值范围。解：fx()是偶函数，且在（0，1）上是增函数，fx()在()10，上是减函数，由1211412aa得35a。（1）当a2时，fafaf()()()2402，不等式不成立。2）当32a时，fafafaaaaaa()()()24412014024322222解之得，（3）当25a时，fafa()()242faaaaaa()22240210412425解之得，综上所述，所求a的取值范围是()()3225，，。四、不等式1.解不等式这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“f”，转化为代数不等式求解。例7．已知函数fx()对任意xyR，有fxfyfxy()()()2，当x0时，fx()2，f()35，求不等式faa()2223的解集。解：设xxR12、且xx12则xx210fxx()212，即fxx()2120，fxfxxxfxxfxfxfxfx()[()]()()()()()22112111212故fx()为增函数，又fffff()()()()()321212314531122)1(3)22(3)1(22aaafaaff即，因此不等式faa()2223的解集为aa|13。2.讨论不等式的解求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。例8，.已知)(xf是定义在1,1上的奇函数，若1,1,ba，且0ba时，恒有0)()(babfaf.（1）判断)(xf在1,1上是增函数还是减函数，并证明你的结论；（2）解不等式)6()15(2xfxf五、比较函数值大小利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。例9，已知函数fx()是定义域为R的偶函数，x0时，fx()是增函数，若x10，x20，且||||xx12，则fxfx()()12，的大小关系是_______。分析：xx1200，且||||xx12，001221xxxx又x0时，fx()是增函数，fxfx()()21fx()是偶函数fxfx()()11故fxfx()()121.对于定义在R上的函数)(xf，给出三个命题：（1）若)2()2(-ff，则)(xf是偶函数；（2）若)2()2(-ff，则)(xf不是偶函数；（3）若)2()2(-ff，则)(xf一定不是奇函数.其中正确命题的序号为________________2.下列命题中，说法正确的是____________（1）若定义在R上的函数)(xf满足)1()2(ff，则函数)(xf是R上的单调增函数；（2）若定义在R上的函数)(xf满足)1()2(ff，则函数)(xf不是R上的单调减函数；（3）若定义在R上的函数)(xf在区间0,上是单调增函数，在区间,0上也是单调增函数，则函数)(xf是R上的单调增函数；（4）若定义在R上的函数)(xf在区间0,上是单调增函数，在区间,0上也是单调增函数，则函数)(xf是R上的单调增函数；变式：若定义在R上的函数对任意的Rxx21,都有2)()()(2121xfxfxxf成立，且当0x时，.2)(xf（1）求证：2)(xf是奇函数；（2）求证：)(xf是R上的增函数；函数yf(x)，满足Rxx21,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-3,（1）判断函数f(x)-3的奇偶2.521.510.50.511.522.51.41.210.80.60.40.20.20.40.60.81性并予以证明⑵若f(x)最大值为M，最小值为m，求M+m分析;恰当赋值，用定义可证奇偶性，应用奇偶性可求M+m解析；令,021xx则f(0+0)=f(0)+f(0)-3得30f，令xxxx21,则f(x-x)=f(x)+f(-x)-3得f(x)+f(-x)=6，令3xfxg则xgxfxfxg33所以f(x)-3为奇函数。⑵3maxMxg，3minmxg，xg为奇函数图像关于原点对称03xgM，03xgm所以6mM点评:奇偶性定义是判断抽象函数奇偶性的重要方法，恰当赋值找出f(x)+f(-x)=6是关键2，函数yf(x)，满足),()()(,,abfbafabfRba（1）求)1(),0(ff的值，⑵判断并证明f(x)的奇偶性解析；令,0ba则00f，令1ba则01f⑵111ff=121111fff得01f再令xffxxfxfxba11,1，所以f(x)为奇函数点评:要判断f(x)的奇偶性必先求出1f，而把1写成11是关键3，定义在R上的函数yf(x)满足),2()2(xfxf且在7,0上只有0)3()1(ff，判断f(x)的奇偶性并说明理由解析；f(x)在7,0上只有0)3()1(ff令3x则0532321ffff所以11ff，11ff所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数。点评:判定一个命题不成立，只需举出反例即可。4，已知定义在R上的函数yf(x)满足条件xfxf23，且函数y43xf是奇函数，判断yf(x)的奇偶性并说明理由解析；因为y43xf是奇函数，所以43xf43xf，用x替代43x得23xfxf又xfxf2323xf23xfxfxf所以f(x)为偶函数5，定义在R上的函数yf(x)满足:,141fRyxyxfyxfyfxf,4判断yf(x)的奇偶性并说明理由解析；令0x得yfyfyff04，只需求出0f，故再令1,0xy得21011014fffff，所以yfyfyf2yfyf所以f(x)为偶函数6，已知偶函数f(x)在区间,0上单调递增求满足xfxf2的x取值范围解析；由偶函数性质得|||2|xfxf，又f(x)在区间,0上单调递增022202222xxxxx解得1x点评：运用偶函数性质xfxfxf可把变量转化为同一单调区间再利用单调性求解，本题若分类讨论，则要分四种情况繁琐，显示了运用性质的重要性。7，函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，,0)1(g且f(x)g(x)在0,上单调递增，解不等式f(x)g(x)0解析；令xFf(x)g(x)，xFf(-x)g(-x)=-xF所以xF为奇函数，又1Ff(-1)g(-1)=0，01F，xF在0,上单调递增，由奇函数在其对称区间上单调性相同得xF在,0上单调递增作出xF的简图所以f(x)g(x)0即xF0的解是,10,1