高量11-电子的相对论运动方程

1这里主要讨论符合相对论要求的单电子（自旋1/2）的量子力学，并以粒子数守恒和低能的非相对论量子力学为主。主要内容有：1.建立狄拉克方程以及若干有关的概念，为进一步学习全面的相对论理论打基础；2.以单电子为研究对象，给出其哈密顿，求得狄拉克方程的严格解。在本章的处理中电磁场仍看作外场，并按照经典场处理。第三章狄拉克方程§15电子的相对论运动方程2§15.2克莱因-高登方程和狄拉克方程不符合狭义相对论要求，因为其中的H是根据经典非相对论分析力学写出来的.现在任务是改写这个原理中的运动方程，使之符合相对论的要求。在前面所介绍的量子力学的五个基本原理中，只有原理4，即微观系统的状态随时间的变化规律是薛定谔方程)(|t)(|)(|tHtti3将此式与经典单粒子的动能与动量的关系式)1.15(),,,()()(21),,,(2tzyxRqVRAqimtzyxti一.克莱因-高登方程的推导按照相对论的时空对等性要求和方程在洛伦兹变换下的不变性要求，我们在坐标表象下讨论这个问题。相比较，发现与相对应，而与相对应。qVtiqVEiiqAxiiiqAp在坐标表象下，外场下单粒子的薛定谔方程为)2.15()(21)(2AqpmqVE第一个相对论运动方程正是仿照这种对应方式而得到的。4根据相对论关系并考虑上述对应关系)3.15()(42222cmpcqVE)4.15(),,,()(),,,()(422222tzyxcmctzyxqVti这个方程称为克莱因-高登方程。在克莱因-高登方程提出后立即发现其有许多问题：(1)不是正定的,无法解释为粒子的位置概率；*(令,若对任意,则为正定))(*xf0)(,xfx)(xfiiiiqAxiqApqVtiqVE,并对任意波函数发生作用，有5(5)这一方程除了V=0的自由形式外，无法纳入量子力学已有的体系之中，即无法写成含时薛定谔方程的形式。(2)总能量有负的本征值，而且没有下限，这将造成严重的困难。因为在量子理论中存在自发跃迁的概念，因而这个方程的所有定态解将不断自发辐射到的能级；(3)这是一个对时间的二阶方程，解此方程时除了需要初始时刻的外,还需要作为初始条件；t/(4)用此方程计算H原子能级与实验值符合得不好；6总之，克-高方程无法纳入现有量子力学的框架，而且至少对于电子是不适用的。然而又不能简单地否定。因为：（1）这个方程的非相对论极限正是薛定谔方程cv),,,()()(21),,,(2tzyxRqVRAqimtzyxti（2）从这一方程可以导出一个连续性方程0jt其中****)(2121mjttm7])([21**mj][2**mqiJ而上述流密度表达式与非相对论的表达式十分相似。如此看来，既然克莱因-高登方程符合相对论的要求，那么很可能是态函数不对：即态函数虽然满足克-高方程，但还要满足另一个比此方程要求更高的方程。这个要求更高的方程就是狄拉克方程。8二.狄拉克方程基于克-高方程的上述情况，狄拉克开始他寻找这个方程的工作。他希望（1）这首先是一个对时间的一阶方程，以便纳入已有的量子力学框架；（2）同时又要求它的解仍然满足克-高方程。于是狄拉克假设自由电子正确的相对论方程应取下列形式：0),,,(2tzyxmczicyicxictizyx或简写成9)5.15(0),,,()(2tzyxmcicti式中和是四个与时间和位置无关的待定常量,c是光速。引人c的目的是保证无量纲。),,(zyxii,为了使满足此方程的态函数仍能满足克-高方程，用2)(mcicti从左边作用到（15.5）上，并与克-高方程（V=A=0）),,,()(),,,()(422222tzyxcmctzyxti相比较，得待定常数应满足10其中对于自由电子，有)6.15(),,or3,2,1(0)(012222zyxijiiiijjizyx既是时间和位置的一阶方程，其解又满足克-高方程。),,,(tzyx)7.15(ˆHti)8.15(ˆˆ2mcPcH（具体过程看曾谨言《量子力学》卷IIp349）在此情况下,式0),,,()(2tzyxmcicti上式就称为狄拉克方程。写成含时薛定谔方程形式为11)9.15()ˆ(ˆ2mcqVAqPcH若不含时间，则狄拉克方程也有定态解VA,Etiezyxtzyx),,(),,,(而满足),,(zyx)10.15(),,(),,(ˆzyxEzyxH)6.15(0)(012222iiijjizyxji从（15.9）式可以看出，显然不可能是普通的数，除了满足下式，,还应该是厄米的，以保证哈密顿算符的厄米性。对电磁场中的电子，有12由于哈密顿算符的构成单元与单电子哈密顿算符的构成单元有很大差别，算符的作用空间显然不是单电子的函数空间，而是另外一个新的空间。)ˆ(AqPcmAqP2/)ˆ(2,这样，电子的态函数应是在单电子的函数空间和这新的空间的直积空间中的矢量。下一节我们会知道，这个新空间是和电子的自旋有关系的。),,,(tzyx以后我们把笼统地写成，以强调它不是单纯的时空的标量函数，而是这种标量函数空间和另一个空间的直积空间中的矢量。),,,(tzyx﹟13三.狄拉克方程的协变形式概念：(1)罗仑兹变换在洛仑兹变换下具有确定的变换性质。22222/1/'',',/1'cvcvxttzzyycvvtxx(2)协变为了展示方程的相对论不变性，常把方程写成协变的形式。为此，令)4,3,2,1(),i,(),i,(),i,(cVAAcEppctxx14（这些算符在后面的推导中非常重要）将狄拉克方程写成如下形式)12.15(0)ˆ(2mcAqPcqVti定义4D形式的动量算符为xiPˆ并且定义四个新的算符)13.15()3,2,1(,4iiii用左乘（15.12）式，利用444ˆAicqPic)(4qVEqVti444ˆqAPic15可证明（这里不证）Dirac方程在洛伦兹变换、空间反演和时间反演下确实是协变的。)14.15(0ˆ2mcqAPic这样就得到狄拉克方程的协变形式)13.15()3,2,1(,4iiii式引进的四个新算符满足以下关系)15.15()(,012423222116﹟再定义：543215则有)17.15()4,3,2,1(055称为算符。由于常以矩阵的形式出现，又常之为矩阵。既然都是厄米算符，根据前面的定义，算符和算符也是厄米的。此外由厄米性及式,5124232221可知四个算符以及都是幺正的。,(15.13)式代入)16.15(i321)13.15()3,2,1(,4iiii17§15.3自旋算符前面在建立Dirac方程的过程中引入了算符，这就是说，在整体运动的位形Hilbert空间之外又发现了一个新的空间，我们说过这个新空间与自旋有关。,,一.自旋算符的寻找1.从对易关系入手设电子的自旋算符为S，它应满足角动量对易关系和自旋算符的反对易关系。令，则的三个分量应满足21Skkijkjiijjiiijii2],[,03,2,1,1218为了寻找满足这些关系的Σ（也称自旋算符），试用来构造。,由前面所得结论可知，算符满足i)19.15(0)18.15(3,2,1,12jiiijjii但不满足)20.15(i2],[kkijkji若取两个的乘积，肯定满足（15.19）式：)21.15(,,213132321ccc注意：c是待定常数，不是光速！为使（15.18）式得到满足，c可以是±i。19对于)20.15(i2],[kkijkji因为3133222121222],[cc所以只要取，则找到了满足正确对易关系的自旋算符：ic也可写成紧凑的形式jkkjijkiiS2,212i容易验证，上式即212121313131323232321iiiiiiiii204)3,2,1(,iiii利用式可推知反过来的关系对于上面给出的算符，容易证明2.一些算符的关系kkijkjijijii此外，有2243,3S0],[2],[],[ikkijkjijii21kkijkjijii利用﹟设A,B是位形空间的算符，因而与新的自旋空间的算符对易，即,,ijjijiBABA))((ijjikkijkijBAi)(BAiBABAiBABABABAiBABA5))(())(())((以上各式利用有关算符的定义及算符的运算公式比较容易推出。另外还有221.自旋角动量是否守恒量？二.自由电子的守恒量已知自由电子的哈密顿为2ˆˆmcPcH],[],[ˆ22mcPc所以自由电子的自旋并不是守恒量。利用0],[i利用kkijkjijii2],[],[],ˆ[2],ˆ[HSH],[ˆ2PcijjiijPc],[ˆ2Pciˆ232.轨道角动量是否守恒量？PjRPcijjiiˆ],ˆ[所以自由电子的轨道角动量不是守恒量。]ˆ,ˆ[],ˆ[2PRmcPcLH]ˆ,ˆ[PRPcPciˆ243.总角动量是否守恒量？由前可知，对角动量SLJ0],ˆ[],ˆ[],ˆ[SHLHJH所以总角动量是守恒量。对于自由电子，这是一个必然的结果，这说明自旋算符的构造是正确的。2S4.自由电子的动量P是否守恒量？由前可知2ˆˆmcPcH0]ˆ,ˆ[PH故自由电子的动量P显然是守恒量。25﹟kkijkjii2],[利用5.自由电子的螺旋度是否守恒量？定义螺旋度为自旋在动量方向上的投影，即PPShˆˆ]ˆ,ˆ[2]ˆ,ˆ[PPPchH所以自由电子的螺旋度是一个守恒量。ijjjiiPPPcˆ],[ˆ20ˆˆ22PPiPcijkkjiijkPPiPcˆˆ22