对勾函数讲解与例题解析

疯狂国际教育（内部）1对勾函数对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图一、对勾函数f(x)=ax+错误!未找到引用源。的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。(一)对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误!未找到引用源。（接下来写作f(x)=ax+b/x）。当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)=b/x“叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y=b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示：当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。a0b0a0b0对勾函数的图像（ab同号）对勾函数的图像（ab异号）疯狂国际教育（内部）2接下来，为了研究方便，我们规定a0，b0。之后当a0，b0时，根据对称就很容易得出结论了。(二)对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到：当x0时，错误!未找到引用源。。当x0时，错误!未找到引用源。。即对勾函数的定点坐标：(三)对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。(四)对勾函数的单调性(五)对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六)对勾函数的奇偶性：对勾函数在定义域内是奇函数，二、均值不等式(基本不等式）对勾函数性质的研究离不开均值不等式。说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。我们都知道，（a-b)^2≥0，展开就是a^2-2ab+b^2≥0，有a^2+b^2≥2ab，两边同时加上2ab，整理得到（a+b)^2≥4ab，同时开根号，就得到了均值定理的公式：a+b≥2sqrt(ab）。把ax+b/x套用这个公式，得到ax+b/x≥2sqrt(axb/x)=2sqrt(ab），这里有个规定：当且仅当ax=b/x时取到最小值，解出x=sqrt(b/a），对应的f(x)=2sqrt(ab）。我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：（a+b)/2≥sqrt(ab），前式大家都知道，是求平均数的公式。那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。这些知识点也是非常重要的。三、关于求函数01xxxy最小值的解法1.均值不等式0x，21xxy，当且仅当xx1，即1x的时候不等式取到“=”。当1x的时候，2miny2.法0112yxxxxy若y的最小值存在，则042y必需存在，即2y或2y（舍）yXOy=ax疯狂国际教育（内部）3找到使2y时，存在相应的x即可。通过观察当1x的时候，2miny3.单调性定义设210xx21212121211111xxxxxxxxxfxf2121211xxxxxx当对于任意的21,xx，只有21,xx1,0时，21xfxf0，此时xf单调递增；当对于任意的21,xx，只有21,xx,1时，21xfxf0，此时xf单调递减。当1x取到最小值，21minfy4.复合函数的单调性2112xxxxyxxt1在,0单调递增，22ty在0,单调递减；在,0单调递增又x1,00,tx,1,0t原函数在1,0上单调递减；在,1上单调递增即当1x取到最小值，21minfy四、例题解析：例1、已知函数，练习：2.已知函数,求f(x)的最小值,并求此时的x值.7fxxx(1).1,2,.xfx求的值域(2).2,4,.xfx求的最小值(3).7,3,.xfx求的值域7:(),,7,0,,,7fxxx解函数在07递减在7递增().1,2(2)()(1)1()8,82xffxffx1在是减函数1即值域为2().72,4,()(7)()2,47xfxffxx2分析知的最小值为在最小值为2(3).7,3(7)()(3)168()7,38,-3xffxffxx在是增函数16即-值域为32254xfxx疯狂国际教育（内部）4五、重点（窍门）其实对勾函数的一般形式是：f(x)=ax+b/x(a0)定义域为（-∞，0）∪（0,+∞）值域为（-∞，-2√ab]∪[2√ab,+∞）当x0，有x=根号a，有最小值是2根号a当x0，有x=-根号a，有最大值是：－2根号a对勾函数的解析式为y=x+a/x（其中a0），它的单调性讨论如下：设x1x2，则f(x1）-f(x2）=x1+a/x1-(x2+a/x2）=(x1-x2）+a(x2-x1）/(x1x2）=(x1-x2）（x1x2-a)/(x1x2）下面分情况讨论⑴当x1x2-根号a时，x1-x20,x1x2-a0,x1x20，所以f(x1）-f(x2）0，即f(x1）f(x2），所以函数在（-∞，-根号a）上是增函数⑵当-根号ax1x20时，x1-x20,x1x2-a0,x1x20，所以f(x1）-f(x2）0，即f(x1）f(x2），所以函数在（-根号a,0）上是减函数⑶当0x1x2根号a时，x1-x20,x1x2-a0,x1x20，所以f(x1）-f(x2）0，即f(x1）f(x2），所以函数在（0，根号a）上是减函数⑷当根号ax1x2时，x1-x20,x1x2-a0,x1x20，所以f(x1）-f(x2）0，即f(x1）f(x2），所以函数在（根号a，+∞）上是增函数解题时常利用此函数的单调性求最大值与最小值。