人教版高数必修一第5讲：函数的单调性(教师版)

1函数的单调性____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、通过已学过的函数模型，特别是二次函数，理解函数的单调性；2、掌握单调性的判断方法，并能简单应用；一、函数单调性的定义1、图形描述：对于函数)(xf的定义域I内某个区间D上，若其图像为从左到右的一条上升的曲线，我们就说函数)(xf在区间D上为单调递增函数；若其图像为从左到右的一条下降的曲线，我们就说函数)(xf在区间D上为单调递减函数。2、定量描述对于函数)(xf的定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值21,xx，（1）若当1x2x时，都有1()fx)(2xf,则说)(xf在区间D上是增函数；（2）若当1x2x时，都有)(1xf)(2xf,则说)(xf在区间D上是减函数。3、单调性与单调区间若函数y=)(xf在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(xf在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(xf的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。特别提醒：1、函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数2xy（图1），当0,x时是增函数，当,0x时是减函数。而有的函数在整个定义域上都是单调的。2、函数的单调区间是其定义域的子集；3、21,xx应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）。二、用定义证明函数的单调性：定义法证明函数在某个区间上是增（减）函数是最基本方法其步骤是：1、取量定大小：即设21,xx是区间上的任意两个实数，且1x2x；2、作差定符号：即12fxfx，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差2的符号的方向变形；3、判断定结论：即根据定义得出结论。三、判断较复杂函数的单调性的几条有用的结论1、函数yfx与函数yfx的单调性相反2、当fx恒为正或恒为负时，函数1yfx与函数yfx的单调性相反3、在公共区间内，增函数增函数增函数，增函数减函数增函数，减函数增函数减函数。四、复合函数单调性的判断对于函数)(ufy和)(xgu，如果)(xgu在区间),(ba上是具有单调性，当),(bax时，),(nmu，且)(ufy在区间),(nm上也具有单调性，则复合函数))((xgfy在区间),(ba具有单调性的规律见下表：)(ufy),(nmu增↗减↘)(xgu),(bax增↗减↘增↗减↘))((xgfy),(bax增↗减↘减↘增↗以上规律还可总结为：“同增异减”。类型一用定义证明函数的单调性例1：证明：函数f(x)＝2x2＋4x在(－∞，－1]上是减函数．解析：设x1x2≤－1，则Δx＝x2－x10，Δy＝f(x2)－f(x1)＝(2x＋4x2)－(2x＋4x1)＝2(x－x)＋4(x2－x1)＝2(x2－x1)(x1＋x2＋2)．∵x1x2≤－1，x1＋x2＋20，∴Δy0.∴f(x)在(－∞，－1]上是减函数．答案：见解析练习1：证明函数f(x)＝－x在定义域上是减函数答案：设x1、x2是[0，＋∞)内的任意两个实数，且x1x2，则Δx＝x2－x10，Δy＝f(x2)－f(x1)＝－x2－(－x1)＝x1－x2＝x1－x2x1＋x2x1＋x2＝x1－x2x1＋x2.∵x1－x2＝－Δx0，x1＋x20，Δy0.∴f(x)＝－x在[0，＋∞)上是减函数．练习2：(2014～2015学年度宁夏育才中学中学高一上学期月考)设函数f(x)=𝑥+2𝑥+1,用单调性定义证明在（-1，+∞）上是减函数。答案：设任意x1∈(－1，＋∞)，x2∈(－1，＋∞)，且x1x2.f(x2)－f(x1)＝x2＋2x2＋1－x1＋2x1＋13＝x1－x2x2＋x1＋类型二证明含参数的函数的单调性例2：已知函数f(x)＝axx2－1(a为常数且a≠0)，试判断函数f(x)在(－1,1)上的单调性．解析任取x1、x2，使得－1x1x21，则Δx＝x2－x10.Δy＝f(x2)－f(x1)＝ax1x2＋x1－x2x21－x22－，∵－1x1x21，∴x1x2＋10，x21－10，x22－10，∴x1x2＋x1－x2x21－x22－0，∴当a0时，f(x2)－f(x1)0，故此时函数f(x)在(－1,1)上是减函数，当a0时，f(x2)－f(x1)0，故此时f(x)在(－1,1)上是增函数．综上所述，当a0时，f(x)在(－1,1)上为减函数，当a0时，f(x)在(－1,1)上为增函数．答案：增函数．练习1：判断函数f(x)＝ax(a为常数且a≠0)在(0，＋∞)上的单调性．答案：当a0时，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，当a0时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数．练习2：判断函数20xafxax在,0上的单调性答案：单调递减函数类型三证明抽象函数的单调性例3：已知函数y＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(x)0(x0)，试判断F(x)＝1fx在(0，＋∞)上的单调性，并证明．解析：F(x)在(0，＋∞)上为减函数．下面给出证明：任取x1、x2∈(0，＋∞)，且Δx＝x2－x10.∵Δy＝F(x2)－F(x1)＝1fx2－1fx1＝fx1－fx2fx2fx1，又y＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且Δx＝x2－x10，∴Δy＝f(x2)－f(x1)0，即f(x2)f(x1)，∴f(x1)－f(x2)0.而f(x1)0，f(x2)0，∴f(x1)f(x2)0，4∴F(x2)－F(x1)0，∴F(x)在(0，＋∞)上为减函数．答案：减函数练习1：已知函数y＝f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(x)0(x0)，试判断F(x)＝f²(x)在(0，＋∞)上的单调性，并证明答案：增函数练习2：(2014～2015学年度江苏泰州三中高一上学期期中测试)函数f(x)＝x²＋2x＋3在[－1，＋∞)的单调性为____答案：增函数。类型四求函数的单调区间例4：求函数y＝x＋1x，x∈(0，＋∞)的单调区间，并画出函数的大致图象．解析：设x1、x2是任意两个不相等的正数，且x1x2，则Δx＝x2－x10，Δy＝f(x2)－f(x1)＝(x2＋1x2)－(x1＋1x1)＝(x2－x1)＋x1－x2x1x2＝(x2－x1)x1x2－1x1x2.由于0x1x2，则x2－x1＝Δx0，x1x20，当x1、x2∈(0,1]时，有x1x2－10，此时Δy0；当x1、x2∈(1，＋∞)时，有x1x2－10，此时Δy0，即函数y＝x＋1x，x∈(0，＋∞)的单调减区间(0,1]，单调增区间是(1，＋∞)．函数的大致图象如图所示．答案：单调减区间(0,1]，单调增区间是(1，＋∞)。练习1：求函数f(x)＝11－x的单调区间．答案：单调递增区间为(－∞，1)和(1，＋∞)．练习2：函数211xxyx的单调递减区间是答案：1,2和2,。类型五利用单调性解不等式例5：已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)f(a2－1)，求a的取值范围．解析：由题意可得－11－a1，①－1a2－11，②1－aa2－1，③5由①得0a2，由②得0a22，∴0|a|2，∴－2a2，且a≠0.由③得a2＋a－20，即(a－1)(a＋2)0，∴a－10a＋20或a－10a＋20，∴－2a1.综上可知0a1，∴a的取值范围是0a1.答案：0a1.练习1：已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－2)f(1－x)，求x的取值范围．答案：x的取值范围为x|1≤x32.练习2：函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，且a为实数，则有()A．f(a)f(2a)B．f(a2)f(a)C．f(a2＋1)f(a)D．f(a2－a)f(a)答案：C，类型六用单调性求最值例6:求f(x)＝x＋x－1的最小值．解析：f(x)＝x＋x－1的定义域为[1，＋∞)，任取x1、x2∈[1，＋∞)，且x1x2，Δx＝x2－x10，则Δy＝f(x2)－f(x1)＝(x2＋x2－1)－(x1＋x1－1)＝(x2－x1)＋(x2－1－x1－1)＝(x2－x1)＋x2－x1x2－1＋x1－1＝(x2－x1)·1＋1x1－1＋x2－1.∵Δx＝x2－x10,1＋1x1－1＋x2－10，∴f(x2)－f(x1)0.∴f(x)在[1，＋∞)上为增函数，∴f(x)min＝f(1)＝1.答案：1练习1:(2014～2015学年度山东济宁市兖州区高一上学期期中测试)已知f(x)＝1x－1，x∈[2,6]，求函数f(x)的最大值和最小值．答案：f(x)max＝f(2)＝1,f(x)min＝f(6)＝15.练习2:函数1yx在2,2上的最大值与最小值分别为。答案:maxmin3,0yy61、证明函数3)(xxfxR是增函数。答案：证明：设21,xx是R上的任意两个实数，且1x2x)xxx)(xx(xxx)f(x)f(x22212121223121∵21xx∴021xx，又∵043)2(22221222121xxxxxxx,∴021)f(x)f(x即)f(x)f(x21∴3)(xxf在R上是增函数。2、求函数20xafxax的单调区间。答案：,0和0,。3、求函数xxy20042的单调递增区间.答案：.,20044、如果函数2fxxbxc，对任意实数t都有22ftft，比较1,2,4fff的大小。答案:214fff5、已知2212fxxax在,4上是减函数，求实数a的取值范围。答案：3a__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1.下列函数中，在(－∞，0)上为减函数的是()A．y＝1x2B．y＝x3C．y＝x0D．y＝x2答案：D2．设函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的增函数，则有()OyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyx7A．a12B．a≤12C．a－12D．a12答案：A3．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1、x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中不正确的是()A．fx1－fx2x1－x20B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0C．f(a)f(x1)f(x2)f(b)D．x1－x2fx1－fx20答案：C4．(2014～2015学年度武汉二中、龙泉中学高一上学期期中测试)函数f(x)＝－x2＋2ax＋3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是()A．a4B．a≤4C．a4D．a≥4答案：D5．若函数f(x)在区间(a，b]上是增