二元一次方程组知识点及典型例题

1二元一次方程组小结与复习一、知识梳理（一）二元一次方程组的有关概念1．二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程。2．二元一次方程的一个解：适合一个二元一次方程的一对未知数的值，叫这个二元一次方程的一个解。任何一个二元一次方程都有无数个解。3．方程组和方程组的解（1）方程组：由几个方程组成的一组方程叫作方程组。（2）方程组的解：方程组中各个方程的公共解，叫作这个方程组的解。4．二元一次方程组和二元一次方程组的解（1）二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组。（2）二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解。（二）二元一次方程组的解法：1．代入消元法2．加减消元法二、典例剖析题型一1．二元一次方程及方程组的概念。二元一次方程的一般形式：任何一个二元一次方程经过整理、化简后，都可以化成0cbyax（a,b,c为已知数，且a≠0，b≠0）的形式，这种形式叫二元一次方程的一般形式。练习1、下列方程，哪些是二元一次方程，哪些不是？12).().(711)(6526)(yxxyDyxCyxBxzxA练习2、若方程的值。的二元一次方程，求、是关于）（nnmmyxyxm43195练习3、（1）若方程(2m－6)x|n|－1+(n+2)y82m=1是二元一次方程，则m=_______，n=__________．专题二：二元一次方程组的解法：解二元一次方程组的基本思想是消元转化。（一）、代入消元法：1、直接代入例1解方程组②①yxxy.134,322跟踪训练：解方程组：（1）90152xyxy（2）73825xyyx2、变形代入例2解方程组②①yxyx.1043,95跟踪训练：（1）.2354,42yxyx（2）②①77322yxyx(3).123,205yxyx(4)②①5231284yxyx（二）、加减消元法例题、解方程组（1）524yxyx（2）322543yxyx（3）．.1034,1353yxyx跟踪训练：（1）（2）（3）1023724yxyx3(4)(5)9275320232yyxyx(6)11,233210;xyxy（三）、选择适当的方法解下列方程组（1）.5)3()1(2),1(32xyxy（2）23)3(5)4(44)3()4(2yxyx（3）3)43(4)1(3)2(311yxyx（4）x2y+2=02y+22x536－－－＝题型三：代数式的变形1、在方程＝5中，用含的代数式表示为：＝，当＝3时，＝。2、在二元一次方程x+2y=11中，用含x的式子表示y得__________题型四：有关二元一次方程组的解：15251102yxyx4654432yxyx（1）二元一次方程3a+b=9在正整数范围内的解的个数是_________.（2）已知(3x－2y+1)2与|4x－3y－3|互为相反数，则x=__________，y=________（3）若方程组122323myxmyx的解互为相反数，求m的值。（4）解关于x，y的方程组32165410xykxyk，并求当解满足方程4x－3y＝21时的k值．（5）：的值。求有相同的解与方程组若方程组babyaxyxyxbyax,,10224352123（6）：若方程组的解是方程ax-by=4的解，你能求出a、b的值吗？题型五：墨渍题练习1、已知方程组153cyxbyax，甲正确的解得32yx，而乙粗心，把c看错了，解得63yx，求a、b、c的值。5练习2、一个被滴上墨水的方程组如下：872yxyx，小明回忆到：“这个方程组的解为2223yxyx，而我求出的解是，经检查后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中x的系数所致”，请你根据小明的回忆，把原方程组还原出来。练习3：小明和小华同时解方程组1325nyxymx，小明看错了m，解得227yx，小华看错了n，解得73yx，则原方程组正确的解是多少？题型六：方程组的解的情况例题．已知关于x，y的方程组21(1)22(1)3(2)axyaxay，分别求出当a为何值时，方程组(1)有唯一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解．6变式：（1）当a为何值时，方程组2133axyxy有唯一的解分析：（2）×2：6x+2y=6(3)(3)-(1):(6-a)x=5当a≠6时，方程有唯一的解ax65（1）当m为何值时，方程组2122xyxmy有无穷多解？分析：（1）×2：2x+4y=2(3)(3)-(2):(4-m)y=04-m=0即m=4，有无穷多解题型七：应用题（分配调运问题）某校师生到甲、乙两个工厂参加劳动，如果从甲厂抽9人到乙厂，则两厂的人数相同；如果从乙厂抽5人到甲厂，则甲厂的人数是乙厂的2倍，到两个工厂的人数各是多少？解：设到甲工厂的人数为x人，到乙工厂的人数为y人题中的两个相等关系：1、抽9人后到甲工厂的人数=到乙工厂的人数可列方程为：x-9=2、抽5人后到甲工厂的人数=可列方程为：（行程问题）甲、乙二人相距6km，二人同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇。二人的平均速度各是多少？解：设甲每小时走x千米，乙每小时走y千米题中的两个相等关系：1、同向而行：甲的路程=乙的路程+可列方程为：2、相向而行：甲的路程+=可列方程为：（百分数问题）某市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8％，农村人口增加1.1％,这样全市人口将增加1％，求这个市现在的城镇人口与农村人口？解：这个市现在的城镇人口有x万人，农村人口有y万人题中的两个相等关系：1、现在城镇人口+=现在全市总人口可列方程为：72、明年增加后的城镇人口+=明年全市总人口可列方程为：（1+0.8％）x+=（分配问题）某幼儿园分萍果，若每人3个，则剩2个，若每人4个，则有一个少1个，问幼儿园有几个小朋友？解：设幼儿园有x个小朋友，萍果有y个题中的两个相等关系：1、萍果总数=每人分3个+可列方程为：2、萍果总数=可列方程为：（浓度分配问题）要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少？解：设含盐10%的盐水有x千克，含盐85%的盐水有y千克。题中的两个相等关系：1、含盐10%的盐水中盐的重量+含盐85%的盐水中盐的重量=可列方程为：10%x+=2、含盐10%的盐水重量+含盐85%的盐水重量=可列方程为：x+y=（金融分配问题）需要用多少每千克售4.2元的糖果才能与每千克售3.4元的糖果混合成每千克售3.6元的杂拌糖200千克？解：设每千克售4.2元的糖果为x千克，每千克售3.4元的糖果为y千克题中的两个相等关系：1、每千克售4.2元的糖果销售总价+=可列方程为：2、每千克售4.2元的糖果重量+=可列方程为：（几何分配问题）如图：用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少？解：设小长方形的长是x厘米，宽是y厘米题中的两个相等关系：1、小长方形的长+=大长方形的宽可列方程为：2、小长方形的长=可列方程为：（材料分配问题）一张桌子由桌面和四条脚组成，1立方米的木材可制成桌面50张或制作桌脚300条，现有5立方米的木材，问应如何分配木材，可以使桌面和桌脚配套？解：设题中的两个相等关系：1、制作桌面的木材+=可列方程为：2、所有桌面的总数：所有桌脚的总数=可列方程为：（数字问题）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？解：设个位数字为x，十位数字为y。题中的两个相等关系：1、个位数字=-5，可列方程为：2、新两位数=可列方程为：8（分配调运）一批货物要运往某地，货主准备租用汽运公司的甲、乙两种货车，已知过去租用这两种汽车运货的情况如左表所示，现租用该公司5辆甲种货车和6辆乙种货车，一次刚好运完这批货物，问曱乙两种货车的载重量分别是多少吨？解：设题中的两个相等关系：1、第一次：甲货车运的货物重量+=36可列方程为：2、第二次：甲货车运的货物重量+=26可列方程为：方案问题.北京和上海都有某种仪器可供外地使用，其中北京可提供10台，上海可提供4台。已知重庆需要8台，武汉需要6台，从北京上海将仪器运往重庆、武汉的费用如下表所示、有关部门计划用8000元运送这些仪器。请你设计一种方案，使武汉、重庆能够得到所需的仪器，而且运费正好够用。运费表：终点起点武汉（元/台）重庆（元/台）北京400800上海3005009二元一次方程组课后练习（一）：一、填空题：1、用加减消元法解方程组，由①×2—②得。2、在方程＝5中，用含的代数式表示为：＝，当＝3时，＝。3、在代数式中，当＝－2，＝1时，它的值为1，则＝；当＝2，＝－3时代数式的值是。4、已知方程组与有相同的解，则＝，＝。5、若，则＝，＝。6、有一个两位数，它的两个数字之和为11，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大63，设原两位数的个位数字为，十位数字为，则用代数式表示原两位数为，根据题意得方程组。7、如果＝3，＝2是方程的解，则＝。8、若是关于、的方程的一个解，且，则＝。9、已知，那么的值是。二、选择题：10、在方程组、、、、、中，是二元一次方程组的有（）10A、2个B、3个C、4个D、5个11、如果是同类项，则、的值是（）A、＝－3，＝2B、＝2，＝－3C、＝－2，＝3D、＝3，＝－212、已知是方程组的解，则、间的关系是（）A、B、C、D、13、若二元一次方程，，有公共解，则的取值为（）A、3B、－3C、－4D、414、若二元一次方程有正整数解，则的取值应为（）A、正奇数B、正偶数C、正奇数或正偶数D、015、若方程组的解满足＞0，则的取值范围是（）A、＜－1B、＜1C、＞－1D、＞116、方程是二元一次方程，则的取值为（）A、≠0B、≠－1C、≠1D、≠217、解方程组时，一学生把看错而得，而正确的解是那么、、的值是（）A、不能确定B、＝4，＝5，＝－2C、、不能确定，＝－2D、＝4，＝7，＝218、当时，代数式的值为6，那么当时这个式子的值为（）11A、6B、－4C、5D、119、设A、B两镇相距千米，甲从A镇、乙从B镇同时出发，相向而行，甲、乙行驶的速度分别为千米／小时、千米／小时，①出发后30分钟相遇；②甲到B镇后立即返回，追上乙时又经过了30分钟；③当甲追上乙时他俩离A镇还有4千米。求、、。根据题意，由条件③，有四位同学各得到第3个方程如下，其中错误的一个是（）A、B、C、D、三、解方程组：20、21、四、列方程（组）解应用题：22、王大伯承包了25亩土地，今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜，用去了44000元。其中种茄子每亩用了1700元，获纯利2400元；种西红柿每亩用了1800元，获纯利2600元。问王大伯一共获纯利多少元？23、在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆”；乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆”；丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍”；请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量