复合函数的单调性

复合函数单调性一、复习引入：1.对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值⑴若当x1x2时，都有f(x1)f(x2),则说在这个区间上是增函数；⑵若当x1x2时，都有f(x1)f(x2),则说在这个区间上是减函数.2.判断证明函数单调性的一般步骤是：⑴设,给定区间内的任意两个值；⑵作差，并将此差式变形（要注意变形的程度）,判断正负（要注意说理的充分性）；(3)确定其增减性.结论1：若f(x)与g(x)在R上是增函数，则函数y=f(x)+g(x)也是增函数。结论3：若f(x)在R上是增函数，g(x)在R上是减函数，则函数y=f(x)－g(x)也是增函数复合函数y=f(x)+g(x)与y=f(x)-g(x)单调性:即：同加不变，异减同前结论2：若f(x)与g(x)在R上是减函数，则函数y=f(x)+g(x)也是减函数。结论4：若f(x)在R上是减函数，g(x)在R上是增函数，则函数y=f(x)－g(x)也是减函数例1：已知x∈[0,1],则函数的最大值为_______最小值为_________xxy12221120]1,0[)()(]1,0[)(]1,0[)(1)(22)(maxminyxyxxgxfyxgxfxxgxxf时，当－＝时，当上的增函数，是上的减函数是上的增函数，是则解：令复合函数的定义：如果y是u的函数,u又是x的函数，即ｙ=f(ｕ),ｕ=g(ｘ),那么ｙ关于ｘ的函数ｙ＝ｆ[ｇ(ｘ)］叫做函数y=f(ｕ)和u=g(x)的复合函数，u叫做中间变量，x叫自变量，y叫函数值。复合函数y=f[g(x)]单调性的单调性。的单调性，从而得出与的单调性，必须考虑、对于复合函数)]([)()()]([3xgfyxguufyxgfy)(xgu)(ufy)]([xgfy增函数增函数增函数增函数增函数增函数减函数减函数减函数减函数减函数减函数法则同增异减规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数。2yx2x-3例1、求函数的单调区间。1x-3x03-2xx2，或解：），＋［］，－函数的定义域为（－13uy,3-2xxu2则令）上为增函数，＋在［］为减函数，－在（－而）为增函数，，＋在［133-2xxu0uy22yx2x-313函数的单调递增区间为［，＋），单调递减区间为（－，－］题型1.求单调区间2212,3ux又在上是减函数。2432,3yxx在上是减函数。2432,3。yxx故函数的单调递减区间为？）的单调递增区间是什么问：函数34(2xxy的单调递减区间。求函数练习34.12xxy，，即解：03403422xxxx。，即函数的定义域为3,131x，，故令uyxxu342增函数。是定义域内是的单调递uy2430,xx解：2430,xx即13x1,3即函数的定义域为2143,,2uuxxy令则小结：考虑指数函数的单调性要先考虑函数的定义域，在定义域范围内求函数的单调性。24313.2xxy例求函数的单调递减区间。在定义域内是减函数。uy212243211,22uxxx又在上是增函数，在，3上是减函数。24311,22xxy的单调递减区间为。2：430xx解13,1,3x即定义域为224321,uxxx令1,2，2,3故单调递增区间为单调递减区间为14.00是减区间。ty4.0log20.4()log432,3,1,2fxxx的单调递增区间为单调递减区间为。221()log43fxxx拓展：判断函数的单调性。22()log43afxxx拓展：判断函数的单调性。20.44.()log43fxxx例求的单调区间。0542xx解：。函数的定义域为,51,,,542uyxxu则令在定义域内是增函数。uy上是减函数，在又,2122xu上是增函数。在2,上是增函数。上是减函数，在在1,,5542xxy函数的单调区间。：求练习5412xxy。的定义域是解：函数Rxf)(uyxxxu3,21321622则令在定义域内是增函数。uy3上是增函数。上是减函数，在在又,2121,213212xu上是增函数。上是减函数，在在,2121,362xxy的单调递减区间。求函数练习623.2xxy。，的单调递减区间为21362xxy的单调递增区间。：求函数练习226log3xxy062xx解：062xx即2,323，即函数的定义域为xtyxxt22log,6则令在定义域内是增函数，ty2log上是增函数。在又21,3213212xt。，的单调递增区间为函数2136log22xxy2125.log,13yxaxaa例已知函数在上是增函数，求实数的取值范围。uyaaxxu212log,则解：令122212101,log2logyuyxaxauxaxa在定义域内是减函数，根据复合函数的单调性可知：是增函数时，应是其定义域内某区间上的减函数，则3121031312aaa。解之得：2322a。的取值范围为2322|aaa判断函数的单调性有哪些方法1、定义法2、图象法3、利用已知函数的单调性，通过一些简单结论、性质作出判断。4、利用复合函数单调性的规则进行判断。若函数y＝(log(1/2)ax)在R上为减函数，则a∈。