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第三讲带余除法进阶模块一、化除为乘一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），若有a÷b=q……r，或者a=b×q+r，0≤rb；当r=0时，我们称a能被b整除；当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商。在带余除法的算式中，已知三个量，就可以求出第四个量。特别注意：0≤rb.例1．完成下列填空：17÷5=……；÷6=13……4；79÷=9……7；113÷=12……；解：17÷5=3……2；82÷6=13……4；79÷8=9……7；113÷9=12……5；例2．两个自然数相除，商是7，余数是5，如果两个数相加，和是69，那么这两个数分别是和。解：设这两个自然数分别为a、b，且a=7b+5，a+b=69，则7b+5+b=69，解得b=8，a=61.所以这两个数分别是61和8。模块二、余数的特征余数特征：1．末位法——被4、25、8、125、16、625除的余数特征；2．数位和法——被3、9、99除的余数特征；3．数位差法——被11除的余数特征；4．三位截断法——被7、11、13除的余数特征；例3．34567除以3、4、5、7、9、11、13、99、999的余数分别为；；；；；；；；。解：34567除以3、4、5、7、9、11、13、99、999的余数分别为1；3；2；1；7；5；0；16；601。例4．（1）23456789+3456789的结果除以9的余数为；（2）23456789×3456789的结果除以9的余数为；（3）36×37×38+39×40×41的结果除以7的余数为；解：（1）23456789+3456789≡8+6≡5(mod9)，所以余数是5；（2）23456789+3456789≡8×6≡48≡3(mod9)，所以余数是3；（3）36×37×38+39×40×41≡1×2×3+4×5×6≡126≡0(mod7)，所以余数是0.模块三、1．a与b的差除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之差（或a的余数加一个除数减b的余数）；2．a与b的和除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之和（或这个加除以c的余数）；3．a与b的乘积除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）；例5．（1）若已知358除以7的余数是4，那么359除以7的余数是；360除以7的余数是；（2）3、32、33、34、35、36、37、38、39、310除以7的余数分别是；；；；；；；；；。（3）发现规律，3100除以7的余数是。解：（1）359≡(358)×3≡4×3≡5(mod7)，360≡(359)×3≡5×3≡1(mod7)，所以那么359除以7的余数是5，那么360除以7的余数是1；（2）3、32、33、34、35、36、37、38、39、310除以7的余数分别是3、2、6、4、5、1、3、2、6、4；（3）3100=(36)16×34≡1×4≡4(mod7)，所以3100除以7的余数是4。例6．著名的斐波那契数列1、1、2、3、5、8、13、21、……中，从第三项开始，每一项都是它前面两项的和，现在我们考虑这个数列的第2014项：（1）这一项是奇数还是偶数；（2）这一项除以9的余数是。解：（1）斐波那契数列中各项的奇偶性是奇、奇、偶、奇、奇、偶、奇、奇、偶、……，即第3、6、9、……项为偶数，其余项为奇数，2014÷3=671……1，所以这一项是奇数；（2）依次写出各项除以9的余数是1、1、2、3、5、8、4、3、7、1、8、0、8、8、7、6、4、1、5、6、2、8、1、0、1、1、2、3、……，所以这是以24为周期的循环，2014÷24=83……22，所以第2014项除以9的余数是1.随堂测试1．完成下列填空：89÷6=……；÷7=12……5；95÷=8……7；330÷=19…….解：89÷6=14……5；89÷7=12……5；95÷11=8……7；330÷17=19……7。2．两个数相除商是9，余数是4，两个数相加，和是54，则这两个数的乘积为。解：设a÷b=9……4，即a=9b+4，又a+b=54，所以9b+4+b=54，b=5，a=49，所以a×b=49×5=245.3．684597除以5、7、9、11、13的余数分别为；；；；。解：684597除以5的余数是7÷5的余数2；684597除以7的余数，把684597分成684|597，用684−597=87，再算87÷7=12……3，因为是用前面的三位数减去后面的三位数，所以除以7的余数应该是7−3=4；684597除以9的余数是3；684597除以11的余数，可以用奇数位的数字和减去偶数位的数字和即(8+5+7)−(6+4+9)=1，所以此时余数是1；684597除以13的余数；把684597分成684|597，用684−597=87，再算87÷13=6……9，因为是用前面的三位数减去后面的三位数，所以除以13的余数应该是13−9=4；684597除以5、7、9、11、13的余数分别为2、4、3、1、4.4．23×24×25×26×27×28×29×30×31的结果除以11的余数为。解：23×24×25×26×27×28×29×30×31≡1×2×3×4×5×6×7×8×9≡2×3×4×5×(11−6)×(11−7)×(11−8)×(11−9)≡(2×5)2×(3×4)2≡100×12≡1(mod11)，所以余数是1。5．假设今天是星期三，再过264天，是星期。解：23=8≡1(mod7)，264≡(23)21×2≡1×2≡2(mod7)，所以再过264天，是星期五。