均值定理

运用均值定理求最值的：几点注意和常用方法与技巧著名的平均值不等式,,,,212121nnnnaaanaaaRaaa则若仅当naaa21),2(Nnn时等号成立”是一个应用广泛的不等式，许多外形与它截然相异的函数式，常常也能利用它巧妙地求出最值。且运用均值定理求最值是历年来高考的热点内容。因此必须掌握用重要不等式求函数的最值。一、重视运用过程中的三个条件：“正数、取等、定值”。（其中正数是定理的前提条件，而定值只有在求最值时需要注意）（1）注意“正数”。例1、求函数xxy4的值域。误解：4424xxxx（仅当2x时取等号），所以值域为,4。这里错误在于使用均值定理abba2时忽略了条件：Rba,正确解法：)2(4424,0)(时取等号当时当xxxxxxa；44)2(4)4)((2)4()(0,0)(xxxxxxxxxb时取等号当而时当所以函数的值域是44yyy或。（2）注意“取等”例2、设Rx，求函数213xxy的最小值。误解：拿到很容易想到用均值定理，所以有3min3322232312312,yxxxxxxyRx。这里的错误是没有考虑等号成立的条件。显然要212xxx，这样的不存在x，故导致错误。此题用均值定理，需要拆项，同时要等号成立，需要配一个系数，正确解法：时取等号）23322123(182312323312323xxxxxxxxy。所以2183,3183min3yx。例3、的最大值求且有设byaxyxbaRyxba,6,3,,,,2222误解：)1(29)(212,222222222yxbabyaxyxbxbaax所以byax的最大值为29。这里（1）取等号的条件是仅当byax,；由条件知这是不可能的，所以不可能取到上述的最大值。正确解法：222222222)())((,2byaxyxbaaybxxbya仅当bxay时取等，所以时取等仅当6323632222yxbabxaybyax。如取23)(,3,26maxbyaxyxba（3）注意“定值”例4、已知的最大值求yxRyxyx2,,,12。误解：12),(27)2()3(332yxyxyxyxxyx又时取等当，271,312yxyx时。以上过程只能说明当271312yxyx时。但没有任何理由说明,2712yx这种似是而非的错误解法，关键在于运用重要不等式放缩后的式子不是定值，致使得不出正确的结果。正确解法：272)322(41)34(41441,,332yxyxxyxxyxRyx，所以仅当272,61,32,12,42最大值为时取等号所以而yxyxyxyx。二、常用处理方法和技巧（1）拆项例5、求函数)0(322xxxy的最小值。解：xxxy232322时取等号）xxxxx232(36232323232332，（目标求和的最值，所以凑积为定值，因此拆x3为相同两项，同时使得含变量的因子x的次数和为零）所以仅当3min3362326y，。（2）裂项例6、设1x，求函数1)2)(5(xxxy的最小值。解取等）141(9514)1(251411]1)1][(4)1[(xxxxxxxxxy[先尽可能的让分子变量项和分母相同（常用于分子所含变量因子的次数比分母的含变量因子的次数大或相等时），然后裂项转化为求和的最值，进而凑积为定值。即使得含变量的因子1x的次数和为零，同时取到等号]]所以仅当9,1minyx时。（3）添项例7、求函数222163xxy的最小值。解]216)2(3[638)216)(2(326216)2(3222222取等xxxxxxy（求和的最值，尽可凑积为定值，因此添加6，再减法6，即使得含变量的因子22x的次数和为零，同时取到等号）。所以当638,2334minyx。例8、若yxyxyx则且,191,0,0.的最小值。解：时取等）yxxyyxxyyxxyyxyxyx9(169210991)91)(([所以求变量出现在分子，已知条件变量在分母，为此添上1（即乘1即乘yx91），变为求和的最值，因此凑积为定值，即使得含变量的因子xy的次数和为零，同时取到等号]。所以仅当1241919yxyxyxxy时yx的最小值为16。4、放入根号内例9、求函数)10(122xxxy的最大值。解932)3122(4)1(224)1(132222222422xxxxxxxxxxy（仅当2212xx时取等号）（把变量都放在同一条件下既根号里，求积的最值，凑和为定值，因此配变量x次数相同且系数和为零，且取到等号）因此仅当932,36maxyx。例10、已知,20x求函数)4(62xxy的最大值。解：)4)(4(218)4(360,20222222xxxxxyyx,Rx取等）22322242(3332]3)4()4(2[18xxxxx（求积的最值，凑和为定值，因此首先配变量x次数相同,故把变量放到根号内使次数升高，再配次数相同和系数和为零，且取到等号）因此仅当.3332,332maxyx5、分之变量常数化例、11设求函数4332xxy的最大值。解：由题223242234343xxxxxxxy而,Rx取等号）232242(34223422xxxxxxxx（分子变量因子次数比分母的大且变量因子不为零，可同时除以分子所含变量因子化为前面形式解），所以仅当1,2maxyx。6、取倒数例12、已知134,,yxRyx，求yx2的最小值。解：时取等）yxyxxyxxyx32(3241)3322(121322121132（已知变量出现在分母，所求为变量积且出现在分子，故取倒数再如前面一样求解）因此仅当324)(,9613432max2yxyxyxyx练习：做学生用书的怎样最值的相应的例题和练习题，简略答案为：例1、（1）用椭圆的参数方程可把面积表示为角的函数即2,1)4sin(2cossin)],cos(sin2cossin4[15tS令，,302302135)2,1(245)2(2152SttS（2）、打开绝对值要对变量的取值分类：)21(43)21(1)(43)21()(,)(2min2aaaaxfaxxfaxa，)21(1)21(43)(43)21()(,)(2min2aaaaxfaxxfaxb综上：.43)(,21,1)(,2121;43)(,21min2minminaxfaaxfaaxfa例2、（1）用图形或添加辅助角或用万能公式进而可解得.254yy。（3）由题682442aaaS，然后两边平方再用判别式可得解为623。例3、（1）0,17。（2）),0)(2(302rrry这里均值定理取不到，故而用单调性求解得465,83,2minyhr。测式（1）1、B用二次函数性质可解得415)sin(。2、C最大利润60])401(10401[100000)8050()40()50(10000022xxxxx。3、元后平方即可得解22,21。4、用二次函数性质求解5511miny。5、面积最大仅当半径最大，.642maxrS6、（1）2)]11([,01max22xxaxax，（2）]414([22xxa用单调性得25a。7、22)2(22),22(244)(2attyttaxfxxxxxx则令2,24log,,22)(2min2222ayaaxataaaty即；ayxta42,0,2,2min即例4、（1）因为511001221001txtyyxtzyxtzyx，仅当100.10,1tzyx时取等号。因为1422,142,222xyxyxyyxxyyx所以，所以2818)(,221,242maxxyyx。（2）设直线方程然后用弦长公式及点到直线的距离公式可得2525)1(42)5)(1(2)5(122bbbbbbbS01:281(28]325251[4max3yxSbbbb直线为时仅当例5、（1）找A的对称点即可得交点（2，2），（2）用椭圆的第二定义得PMPAPBPA2，过A作AN垂直L于N，即可得最小值为5。例6、由题xxxa41342，令)0(cos22x所以5)43cos(31035aarctga。例7、利用椭圆的参数方程，并利用平面几何知识知只需求MA的最值，而,333212331,32121,328)32(sin32ABMAMA测式（2）1、（1）由已知242242,0322yxyxyx；（2）10)lg1lg1(5lg1lg12lg1lg12bababay。2、设)1(1]11[)1,(),1,(122tttsBCABssCttB选择D3、（1）638miny，（2）31maxy，（3）2432222232xctgtgxtgxy4、（1）令11,45)2(sin41,23,2)2,0(2,sec22uutgyx（2）由题知222,2,1222abccbabc5、iMyyyyxM3,20),22(41244)(222，6、用参数方程可解)9781,97272(),9714(2113)sin(97141321PS7、参数方程),30(454)54(cos5222aaaPA当时,1530a无最小值，当2,131cos,59531minaaPAa，时。结束