大学物理-振动和波

§1-1简谐振动§1-2简谐振动的合成§1-3简谐波§1-4波的叠加和干涉2主要内容3振动：任何一个物理量随时间的周而复始的变化。1-1简谐振动4机械振动：CLABK微观振动：电磁振荡如图,电荷在LC电路中往复运动.物体在其平衡位置附近,位移x随时间t的周期性变化.电磁振动：电场、磁场等电磁量随t周期性变化.如晶格上原子的振动。振动的分类1：mglq5——(简谐振动)振动的分类2：无阻尼自由谐振动无阻尼自由非谐振动阻尼自由振动无阻尼自由振动自由振动受迫振动6一.简谐振动（S.H.V.）:1.定义：位置坐标按余弦(或正弦)规律随时间变化。tx，qtx,qx(t)=Acos(t+)x(t)=Asin(t+’)或——简谐振动的运动学方程()ititxtAeAe也可用复数表示：计算结果一般取实部782.简谐振动的速度、加速度由,得)cos(tAx)(cos)sin(2tAtAtdxdx)cos()cos(tAtAtdda22xx•a,,x都是谐振动，振幅不同，角频率不变•a,,x依次超前/2；a,x反相（谐振动特点）曲线描述ToxtAAaA2tAxcosπcos2xvAt2cosπxaAttx图tv图ta图TAA2A2AxvatttAAoooTT10等幅、周期性3.简谐振动特性最简单、最基本。其他复杂振动可分解成谐振动的叠加。简谐振动被认为是各式周期运动的基本成分，这有两个根据。1.数学上：傅里叶分析2.物理上：动力学系统的线性11弹簧振子(谐振子)在弹性恢复力的作用下作自由振动——简谐振动kxFx由kxxm则0xx2m/k2——简谐振动的动力学方程(特征方程)(加速度与“位移”正比、反向)Ox二.简谐振动动力学方程12质点作直线谐振动.对特征方程xdtxd222两边同乘以振子质量m,有xkxmF2x*且*km即:作直线谐振动的质点必受线性回复力.1.线谐振动k*—有效劲度系数2.角谐振动(定轴转动/小角摆动)13特征方程:qq222dtd02qq或同乘以I：qq*kIM2即：角谐振动线性回复力矩,且Ik*摆：qsinmglM当q很小,sinqq时单摆qmglM2mlImglk;*lgIk//*mglqTm14如果物体受到的力是线性回复力，则可判定物体作简谐振动，如果不是，那么物体不作简谐振动。线性回复力f=-kx的特点如下：1.力f与位移x的一次方成正比，这个就是“线性”的含义；2.式中负号表明力的方向永远与位移方向相反，即力总是指向平衡位置，这个就是“回复”的含义；3.当x=0时，力f=0，运动存在一个平衡位置，在这个位置上物体沿振动方向不受力。简谐振动的判据3）简谐振动运动学方程0222xtxddtAxcos2）简谐振动动力学方程1）受力情况受到线性回复力*Fkx例：如图,宽阔水面上的柱形浮体,质量m,水平截面面积为S,平衡时吃水深度h.试证明它作简谐振动.16解：宽阔水面液面不变。取坐标系如图，SgxgxhSmgFx水水)(与x无关.…Sgk水*mX-h平衡Ox-(h-x)m'm偏离平衡位置为x时,浮体所受合力为xdtxd222xkdtxdm22*mk/*得证！17)cos(tAx三.简谐振动的参量相位频率振幅tT2Axcos)cos(t2Ax初相周期或圆频率(角频率)182.圆频率(角频率)、周期、频率描述振动系统的固有属性圆频率：T22(注意和的区别)(rad/s)mk——也称为固有圆频率maxx质点离开平衡位置的最大距离1.振幅：A19T1——单位时间内振动的次数(Hz)频率：T完成一次振动的时间(s)周期：∴)(coscosTtAtAxkm22T——也称为固有周期mk21T1——也称为固有频率203.位相和初相相位(位相):tt)(描述t时刻的振动状态(周期变化的物理量变化到哪个阶段)cos;sindxxAvAdt如2当时Ax,0x物体在O点向左运动Ax,0x物体在O点向右运动32当时t0时的相位初相：21谐振动系统特征量的求法：谐振动系统的角频率取决于系统的弹性元件和质量元件，因此分析系统的装置情况一般就可以得到角频率。振幅和初相位则取决于振动的初始状态（初始位置和初始速度），因此求振幅和相位就归结为求初始位置和初始速度。22020vxA00tanxv常数和的确定A000vvxxt初始条件cos0Axsin0Av对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件（两个）决定.)sin(tAv)cos(tAx曲线描述ToxtAAaA2tAxcosπcos2xvAt2cosπxaAttx图tv图ta图TAA2A2AxvatttAAoooTT四.谐振系统的能量24xdtxd222由xdxd2有0xm21m21d222222xm21m21简谐振动系统机械能守恒，各时刻的机械能均等于起始能量E0(t0时输入的能量)。动能弹性势能1.谐振系统的动能和势能dxddtddtxd22及,同乘以m2xmktAtAx)sin()cos(常量EAk212*谐振系统中动能、势能间的关系如右图：25EEpEkEtxt•由起始能量求振幅：kE2kE2A02.谐振系统的平均动能和平均势能周期函数在一个周期内的平均值:)()(tfTtfTttdttfT1f)(应用于谐振动：)cos(tAx)sin(tA262pkAk412EEE*),(cos*tAk21E22p),(sintAm21E222kTttkkdttET1E)(TttppdttET1E)(例1：简谐振动物体的位移为振幅的一半时，其动能和势能之比为：（A）1：1；（B）1：2；（C）3：1；（D）2：1。正确答案：（C）简谐振动的总能量为：221kAEEEpk其势能为：其动能为：当物体的位移为振幅的一半时EAkkxEp412212122EEEEpk431:3:pkEE例2:竖直弹簧谐振子,平衡后用恒力F向下拉0.5m,撤去F,此时t=0,已知:k=200N/m,m=4.0kg,F=100N,S=0.5m,求振动方程.28OSXkmF解:如图，m作谐振动的圆频率为rad/s0774200mk.//对谐振系统(k,m)用功能原理:;2kA21FS由0A22Sx00;4得谐振动方程:0.707cos7.074xtm7070kFS2A./能量守恒简谐运动方程推导常量222121kxmEv0)2121(dd22kxmtv0ddddtxkxtmvv0dd22xmktx例3:光滑U型管内装水银,密度为.管截面为S,使水银偏离平衡位置后任其自由振动.求其往复振动的周期T.30OxX解:如图,平衡时右管中液面坐标x=0,t时刻为x.各处水银质元切向加速度相等22tdtxdmgSx2F)(mgS2/22mTgS五.谐振动的旋转矢量表示31)cos(tAx旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.xA以为原点旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.xAoxoAcos0Ax当时0t0x以为原点旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.xAoxoAttt)cos(tAx时（旋转矢量旋转一周所需的时间）π2T用旋转矢量图画简谐运动的图tx旋转矢量表示的优越性直观展示简谐振动各参量的关系，便于确定的象限便于对两个或多个简谐振动进行比较便于处理简谐振动叠加问题AAx2AtoabxAA0讨论相位差：表示两个相位之差.1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间.)()(12tt)cos(1tAx)cos(2tAx12tttat3πTTt61π23πv2Abt0xto同相2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调上的差异.（解决振动合成问题）)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt12xto为其它超前落后txoπ反相πcos2πcoscos2tAatAtAxxaAAA2由图看出：速度超前位移加速度超前速度2π称两振动同相3）方便比较不同物理量振动步调位移与加速度πΔ称两振动反相0若例1如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数，物体的质量.（1）把物体从平衡位置向右拉到处停下后再释放，求简谐运动方程；1mN72.0kg20mm05.0xm05.0x10sm30.0v（3）如果物体在处时速度不等于零，而是具有向右的初速度，求其运动方程.2A（2）求物体从初位置运动到第一次经过处时的速度；m/xo0.05ox解（1）11s0.6kg02.0mN72.0mkm05.0022020xxAv0tan00xvπ0或A由旋转矢量图可知0)cos(tAx])s0.6cos[()m05.0(1t（1）把物体从平衡位置向右拉到处停下后再释放，求简谐运动方程；m05.0xoxA2A解)cos(tAx)cos(tA21)cos(Axt3π53π或tA3πt由旋转矢量图可知tAsinv1sm26.0（负号表示速度沿轴负方向）Ox2A（2）求物体从初位置运动到第一次经过处时的速度；解m0707.022020vxA＇1tan00xv＇4π34π或＇ox＇A4π)cos(tAx]4π)s0.6cos[()m0707.0(1tm05.0x10sm30.0v（3）如果物体在处时速度不等于零，而是具有向右的初速度，求其运动方程.因为，由旋转矢量图可知4π＇00v例2一质量为的物体作简谐运动，其振幅为，周期为，起始时刻物体在kg01.0m08.0s4xm04.0处，向轴负方向运动（如图）.试求Ox（1）时，物体所处的位置和所受的力；s0.1to08.004.004.008.0m/xv解m08.0A1s2ππ2To08.004.004.008.0m/x3π00vm04.0,0xt代入)cos(tAxcos)m08.0(m04.03πA3π]3π2πcos[)m08.0(txm08.0A1s2ππ2To08.004.004.008.0m/xv]3π2πcos[)m08.0(txs0.1t代入上式得m069.0xxmkxF2)m069.0()2π)(kg01.0(2N1070.13kg01.0mo08.004.004.008.0m/xv（2）由起始位置运动到处所需要的最短时间.m04.0x法一设由起始位置运动到处所需要的最短时间为m04.0xt]3π2πcos[)m08.0(m04.0