第七章-机械波-大学物理上-中南大学

波动是一切微观粒子的属性，与微观粒子对应的波称为物质波。各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，有类似的波动方程。振动的传播过程叫波动。机械振动在介质中的传播称为机械波。声波、水波7-1机械波的产生和传播一、机械波产生的条件如果波动中使介质各部分振动的回复力是弹性力，则称为弹性波。弹性力：有正弹性力（压、张弹性力）和切弹性力；液体和气体弹性介质中只有正弹性力而没有切弹性力。1、有作机械振动的物体，即波源2、有连续的介质二、纵波和横波横波——振动方向与传播方向垂直，如电磁波特征：具有交替出现的波峰和波谷.纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波.特征：具有交替出现的密部和疏部.横波在介质中传播时，介质中产生切变，只能在固体中传播。纵波在介质中传播时，介质中产生容变，能在固体、液体、气体中传播。结论：（1）机械波向外传播的是波源（及各质点）的振动状态和能量。（2）介质中的个质点在各自的平衡位置附近振动，并未向外传播。三、波线和波面2.波面（波阵面）—某时刻，介质中振动位相相同的点联成的空间曲面。波前—波传播到达的最前沿的波（阵）面。1.波线（波射线）--代表波的传播方向的射线。各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直.沿波线方向各质点的振动相位依次落后。3.根据波（阵）面的形状分类：平面波、球面波、柱面波波线波面波面波线平面波球面波波面波线波线波面4.振动参量与波动参量间的关系：000AA振波振波振波初相位：圆频率：若介质不吸收能量，则对平面波而言，5.波函数（波动方程）：任意时刻波线上任意质点相对平衡位置的位移的函数表达式。(,)(,,,)frtfxyzt6.波形曲线：某时刻，同一波线上各质点的位移随位置变化的曲线。oxy四、简谐波:简谐振动在介质中传播所形成的波。波源以及介质中各质点的振动都是谐振动。任何复杂的波都可以看成若干个简谐波叠加而成。*五、物体的弹性形变弹性形变：物体在一定限度的外力作用下形状和体积发生改变，当外力撤去后，物体的形状和体积能完全恢复原状的形变。(1)长变FFSllFFSll称为应变或胁变ll称为应力或胁强SF在弹性限度范围内，应力与应变成正比llESF称为杨氏弹性模量E(2)切变FFSbdS相对面发生相对滑移切变的应变或胁变bdarctan切变的应力或胁强SF在弹性限度范围内，应力与应变成正比GSF称为切变弹性模量G(3)容变容变的应变VVVVBppppppppppppp在弹性限度范围内，压强的改变与容变应变的大小成正比称为容变弹性模量B2、波长1、波的周期和频率12T周期T：一个完整波形通过波线上某点所需的时间。频率：单位时间内通过波线上某点的完整波形的数目。1）同一波线上相邻的位相差为2的两质点的距离；2）波在一个周期内所传播的距离；3）两个相邻波峰（波谷、疏部、密部）间的距离；4）同一波线上相邻的振动状态相同的两点间的距。T、反映了波的时间周期性六、描述波动的几个物理量反映了波的空间周期性振动状态（即位相）在单位时间内传播的距离称为波速，也称之相速。3、波速uuuT介质决定波源决定由波长和频率（周期）的定义可知u上式把波的空间周期性和时间周期性联系了起来。思考题：波在介质中的传播速度为，可否用增大频率的办法来提高机械波的传播速度？u机械波的波速通常由介质的性质决定，对简谐波，在固体中传播的横波和纵波的波速（相速）分别为uGuE7-2平面简谐波的波动方程一、平面简谐波波动方程的推导xypuOxy表示该处质点偏离平衡位置的位移p为x轴上任意一点，其坐标为x简谐波:简谐振动在介质中传播所形成的波。平面简谐波：在平面波传播过程中，若介质中各质点均做同频率同振幅的简谐振动，则称该平面波为平面简谐波。（要求介质不吸收能量、各向同性、均匀无限大）一平面简谐波在理想介质中以波速u沿x轴正向传播，x轴即为某一波线设原点振动表达式：00cos()yAtxypuOx1.O点振动状态传到p点需用xtut时刻p处质点的振动状态重复()xtu时刻O处质点的振动状态2.P点的相位落后O点22xtx00()()cos[()]PxytyttAtu即(1)t时刻O点的振动相位为:0tt时刻P点的振动相位为:2tx由P点的任意性可知，（1）、（2）两式表示任意质点在任意时刻相对平衡位置的位移。02(,)cos()PyxtAtx所以P点的振动方程为(2)所以沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程为：0cos[()]xyAtu02cos()yAtx或波向x负方向传xypuOxt时刻p处质点的振动状态重复()xtu时刻O处质点的振动状态0cos[()]xyAtu波动方程为P点的相位超前O点22xtxt时刻P点的振动相位为:2tx02cos()yAtx波动方程为二、波动方程的物理意义][0)uxt(cosAy1、如果给定x，即x=x0yOtTTx0处质点的振动初相为002x02x为x0处质点落后于原点的位相为x0处质点的振动方程则y=y(t))xtcos(A)t(y002若x0=则x0处质点落后于原点的位相为2是波在空间上的周期性的标志2、如果给定t，即t=t0则y=y(x)221212xxx][00)uxt(cosAy上式表示给定时刻波线上各质点的位移，即t0时刻的波形．同一波线上任意两点的振动位相差XYOux1x221212Tt)tt(同一质点在相邻两时刻的振动位相差T是波在时间上的周期性的标志3.如x,t均变化y=y(x,t)包含了不同时刻的波形][0)uxt(cosA)x(y][0)utuxtt(cosA)tt,xx(yt时刻的波形方程t+t时刻的波形方程][0)uxtt(cosA)x(yt时刻,x处的某个振动状态经过t，传播了x的距离][0)uxt(cosA)t,x(y)tt,xx(yxyuOxtttx在时间t内整个波形沿波的传播方向平移了一段距离x行波)t,x(y)tt,xx(yxyuOxtttx])(cos[0222uxtAty222022221])(cos[tyuuxtuAxy222221tyuxy*三、平面波的波动微分方程沿x方向传播的平面波动微分方程][0)uxt(cosAy求t的二阶导数求x的二阶导数四、有关波动方程的三类问题1、已知波动方程，求波动参数将所知方程与波动方程的标准形式比较即可例1、已知波源在原点的一列平面简谐波，波动方程为y=Acos(Bt-Cx)，其中A，B，C为正值恒量．求：(1)波的振幅、波速、频率、周期与波长；(2)写出传播方向上距离波源为l处一点的振动方程；(3)任一时刻，同一波线上距离为d的两点的位相差．解:(1)已知平面简谐波的波动方程)cos(CxBtAy0x将上式与波动方程的标准形式)22cos(xtAy比较，可知：波振幅为，频率，波长，波速，波动周期．A2BC2CBuBT21(2)将代入波动方程即可得到该点的振动方程lx)cos(ClBtAy(3)因任一时刻同一波线上两点之间的位相差为)(212xx将，及代入上式，即得:dxx12C2Cd2、已知波速及x0的振动方程（或振动曲线），求波动方程。00(1)0,(2)0xx例2、一平面余弦波沿x轴正向传播，波速为5m·s-1，原点处质点的振动曲线如图所示．(1)写出波动方程；(2)作出t=0时的波形图及距离波源0.5m处质点的振动曲线．0.20.4解:(1)由图知，m，,且时，，∴.1.0A0t0,000vy2300.45Ts30.1cos(5)2ytm原点的振动方程为：∴波动方程为:30.1cos[5()]52xytm(2)0t将代入波动方程，可得此时的波形方程:0.1cos()2yx波形曲线如图所示将m代入波动方程，得该点处的振动方程为:5.0x)5cos(1.0)235.05.055cos(1.0ttym例3一平面简谐波沿轴负向传播，波长=1.0m,原点处质点的振动频率为=2.0Hz，振幅＝0.1m,且在=0时恰好通过平衡位置向轴负向运动，求此平面波的波动方程．xAty解:时原点处质点的振动状态为故原点的振动初相为,所以原点的振动方程为：0t0,000vy20.1cos[2(2)]0.1cos(42)122xyttxm00.1cos(4)2ytm波沿x负向传播，所以波动方程为：3、已知t0时刻的波形曲线或波形方程,求波动方程00(1)0,(2)0tt例4、如题，已知=0时和=0.5s时的波形曲线分别为图中曲线(a)和(b)，波沿轴正向传播，试根据图中绘出的条件求：(1)波动方程；(2)P点的振动方程．ttxmm解:(1)由图知,，,又时,，∴，1.0A40t000,0yv20而，，∴.25.01txu1sm5.042uHz2故波动方程为:0.1cos[()]22xytm0.1cos()2ytm原点的振动方程为：(2)将代入上式，即得P点振动方程为:1Pxm0.1cos[()]0.1cos()22yttm例5、图中(a)表示t=0时刻的波形曲线，(b)表示x=2m处质元P的振动曲线，试求此波的波动方程.解：由图可知：A=0.2m,λ=4m,T=2s;00000,02PPPtyv由(b)图知：时，，0.2cos(2)0.2cos()22PPtymtmT点的振动方程为：再结合波形曲线可知，该列波沿轴正向传播。所以波动方程为：20.2cos[2()]2420.2cos[()]22txyxtm一、波的能量和能量密度波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振动能量的传播。有一平面简谐波][0)uxt(cosAy质量为在x处取一体积元dVdVdm质点的振动速度][0)uxt(sinAtyv7-3波的能量*声强体积元内媒质质点动能为dmvdEk221dV)uxt(sinA][210222（可以证明）体积元内媒质质点的弹性势能为：dV)uxt(sinAdEp][210222体积元内媒质质点的总能量为：pkdEdEdEdV)uxt(sinA][02221）在波动的传播过程中，体积元任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。2）在波传播过程中，任意体积元的能量不守恒。温馨提示能量密度单位体积介质中所具有的波的能量。][0222)uxt(sinAdVdEw平均能量密度一个周期内能量密度的平均值。2221Awdt)uxt(sinATwdtTwTT][11022020T2sin02ddV)uxt(sinAdE][0222能流:单位时间内通过介质中某一截面的能量。二、波的能流和能流密度Swup平均能流：在一个周期内能流的平均值。SuwSwup能流密度（波的强度）：通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能量。uwSpIuAI22212米单位：瓦uuS例试证明在均匀不吸收能量的媒质中传