大学物理——机械振动

广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某一数值附近反复变化。机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。AAOmKqqLi弹簧振子22dtxda又mk2令简谐振动微分方程0222xdtxd一、简谐振动的基本特征6-1简谐振动（simpleharmonicmotion)xmkmFaxa2其通解为：谐振动运动方程)cos(tAx运动学定义:动力学定义:1、简谐振动的定义AAOmkF)cos(tAx运动方程•振幅A物体离开平衡位置的最大距离,决定于初条件.•频率单位时间内振动的次数.•角频率•周期T物体完成一次全振动所需时间.2T初相位相位t决定谐振动物体的运动状态2、描述简谐振动的特征量AAOmkF3.振动速度及加速度简谐振动的加速度和位移成正比而反向.x,v,aavxTOt4.振动初相及振幅由初始条件决定初始条件：当t=0时,x=x0，v=v0代入得=arctan)(00xvAAOmk例6-1.一质点沿x轴作简谐振动，振幅A=0.12m，周期T=2s，当t=0时，质点对平衡位置的位移x0=0.06m,此时刻质点向x正向运动。求此简谐振动的表达式。解取平衡位置为坐标原点。由题设T=2s，则,T2A=0.12m由初条件x0=0.06m，v00得33简谐振动的表达式为设简谐振动的表达式为例6-2.如图所示，倔强系数为8×103N·m-1的轻质弹簧一端固定于A，另一端系一质量为M=4.99kg的木块静止于水平光滑桌面上。质量m=0.01kg的子弹以水平速度v=103m·s-1射入木块使其作简谐振动。若在木块经过平衡位置且向右运动时开始计时。取平衡位置为坐标原点、向右为x轴正方向，求其振动方程。mvMA解：mv=(m+M)V0.01×103=(4.99+0.01)VV=2m.s-12221)(21kAVMm232108212)01.099.4(21AA=0.05m4051083Mmk)40cos(05.0tx0sin20cos05.00vxt2)240cos(05.0tx振动方程为二、简谐振动的旋转矢量表示法1.简谐振动与匀速圆周运动t+OPmxyA匀速圆周运动在x轴上的投影（或分运动）为简谐振动：2.简谐振动的旋转矢量表示法AxO3.两同频率简谐振动的相位差（phasedifference）Ox1A2AOx1A2AOx1A2A)cos(111tAx)cos(222tAx两个谐振动相位差12)()(12tt两同频率的谐振动的相位差等于它们的初相差。=210,x2超前x1=0,同相=，反相x,v,aavxTOtx,v,aOAAA24.谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系例6-3.以余弦函数表示的简谐振动的位移时间曲线如图所示，求此简谐振动的表达式。0vx(cm)Ot(s)12121t=1sAt=0OxA解设简谐振动方程为x0=A/2，v00由旋转矢量表示法v00旋转矢量以匀角速由t=0到t=1s转过了4/334tt=1s34角频率的计算：t=1s时，对应图示的旋转矢量。例6-4.已知某简谐振动的速度与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。4.314.317.157.1501)(st)(1cmsv解：方法1用解析法求解107.15sincmsAv)cos(tAx设振动方程为0cos20Aa14.31cmsvAm214.317.15sin0Av656或0cos,00则a6)cos(2tAa)sin(tAv117.151cmsvt21)61sin(得6116761或0)1cos(,01则a6761114.3scmvAm1014.34.31故振动方程为cmtx)6cos(10)61sin(1Av)61sin(1.347.15即4.314.317.157.1501)(st)(1cmsv)cos(2tAav0tst12ov的旋转矢量与v轴夹角表示t时刻相位2t由图知32261cmvAm1014.34.31cmtx)6cos(10方法2：用旋转矢量法辅助求解。)cos(tAx)2cos()sin(tvtAvm14.31cmsAvm4.314.317.157.1501)(st)(1cmsv1smk固有角频率三、简谐振动实例1.弹簧振子(blockspringsystem)平衡位置：弹簧为原长时，振动物体所处的位置.x=0,F=0位移为x处:由牛顿第二定律x2角频率完全由振动系统本身的性质决定。固有周期固有频率AAOmkF0222xdtxd)cos(tAx2.单摆(simplependulum)glTlg22,当5(=0.0873rad)时，,sinsinmgft摆球相对于平衡位置的角位移为时，切向合外力:mgftlTgmmgsinmC平衡位置：摆线与竖直方向夹角=0.由牛顿第二定律,tmamg.22tdtdla得mgdtdml22或0dd22lgt谐振动微分方程结论：单摆的小角度摆动是简谐振动。,lg23.复摆(compoundpendulum)绕不过质心的水平固定轴转动的刚体。令小幅摆动时角位移，回复力矩M=mghsinM=mgh由刚体的转动定律或得谐振动微分方程结论：复摆的小角度摆动是简谐振动。线性谐振动角谐振动简谐振动的判断及振动方程的确定kx,F,MK,2xa,2归纳与总结例：判断下列运动是否为简谐振动1.乒乓球在地面上的上下跳动2.小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅振动mgO22dtdRRamamgttsin切向运动sin很小22dtdmRmg022RgdtdRg2令0222dtd简谐振动gRTRg2200振动的角频率和周期分别为：四、简谐振动的能量谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep某一时刻，谐振子速度为v，位移为x谐振动的动能和势能是时间的周期性函数.系统的机械能守恒2A21kEEEpkkm2振动能量曲线xtotToEEk(t)Ep(t)例:如图m=2×10-2kg,弹簧的静止形变为l=9.8cmt=0时x0=-9.8cm,v0=0(1)取开始振动时为计时零点，写出振动方程；(2)若取x0=0，v00为计时零点，写出振动方程,并计算振动频率。xOmx解：⑴确定平衡位置mg=kl取为原点k=mg/l令向下有位移x,则f=mg-k(l+x)=-kx作谐振动设振动方程为)cos(0tAxsradlgmk/10098.08.9初条件:,00sin0mvxA098.0)(2020由x0=Acos0=-0.0980cos00,取0=srad/10振动方程为：x=9.810-2cos(10t+)mx0=Acos0=-0.098mv0=-Asin0=0t=0时x0=-0.098m，v0=0xOmxmA098.0srad/10(2)按题意t=0时x0=0，v00x0=Acos0=0,cos0=00=/2,3/2v0=-Asin0,sin00,取0=3/2x=9.810-2cos(10t+3/2)m对同一谐振动取不同的计时起点不同，但、A不变Hzlg6.1212固有频率xOmx例:如图所示，振动系统由一倔强系数为k的轻弹簧、一半径为R、转动惯量为J的定滑轮和一质量为m的物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振动，试证物体作简谐振动，并求其周期T.TmTmga2FmoxkJR解：取位移轴ox，m在平衡位置时，设弹簧伸长量为l，则0lkmg当m有位移x时maTmgRaJRxlkT)(联立得aRJRkx20222xRJmkdtxd物体作简谐振动22RJmkkRJmT2220lkmgTmTmga2FmoxkJR一、同方向、同频率谐振动的合成合振动是简谐振动,其频率仍为。合振动x1x212x2A1AAO6-2简谐振动的合成如A1=A2,则A=0，两个等幅反相的振动合成的结果将使质点处于静止状态。合振动的振幅取得最大，两分振动相互加强。合振幅最小，两分振动相互减弱。分析若两分振动同相：若两分振动反相:二.两个同方向频率相近简谐振动的合成拍如果我们先后听到频率很接近的声音，如552和564Hz，我们很难区分它们频率的差异；如果这两种声音同时到达我们的耳朵，我们听到声音频率为558Hz=(552+564)/2,其强度以12Hz(=564552)的频率变化。这种现象称为拍，12Hz为拍频。xtx1tx2t分振动合振动1.拍及拍频令则T拍xtcos(t+)2Acost拍=2=21,拍=21拍:拍频:单位时间内振动加强或减弱的次数.合振动忽强忽弱的现象.tAtAcos2)()cos(]cos2[ttAx拍的现象常被用于校正乐器。例如我们可以利用标准音叉来校准钢琴的频率：因为音调有微小差别就会出现拍音，调整到拍音消失，钢琴的一个键就被校准了。2.拍的应用三、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成合振动)(sin)cos(21221221222212AyAxAyAx分振动)cos(11tAx)cos(22tAyjtyitxtr)()()(合振动质点的轨迹方程0(1)120)(221AyAxxAAy12合振动的轨迹为通过原点且在第一、第三象限内的直线12AA斜率质点离开平衡位置的位移讨论yx)cos(222122tAAyxS)(sin)cos(21221221222212AyAxAyAx12(2)0)(221AyAxxAAy12合振动的轨迹为通过原点且在第二、第四象限内的直线12AA斜率质点离开平衡位置的位移yx)cos(222122tAAyxS)(sin)cos(21221221222212AyAxAyAx)cos(1tAx)cos(2tAy2(3)1212212AyAx合振动的轨迹为以x轴和y轴为轴线的椭圆.质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。yx)(sin)cos(21221221222212AyAxAyAxyx23(4)12合振动的轨迹为以x轴和y轴为轴线的椭圆.质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。12212AyAx21=021=42434324时，质点沿逆时针方向运动。时，质点沿顺时针方向运动。四、两个相互垂直不同频率的简谐振动的合成轨迹称为李萨如图形4023xyyx,::对于两个频率不相同的谐振动，其相位差)()(1212t不断地随时间变化，因而合振动不一定有稳定的轨迹。yxA2A1o-A1-A2只有在两振动的频率成简单的整数比时，才有稳定的轨迹。若已知一个分振动的周期，可根据合振动的