数学中考压轴题大全(含答案、详细解析版)

1【最新】中考数学压轴题大全（安徽）按右图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。（1）若y与x的关系是y＝x＋p(100－x)，请说明：当p＝12时，这种变换满足上述两个要求；（2）若按关系式y=a(x－h)2＋k(a0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）【解】（1）当P=12时，y=x＋11002x,即y=1502x。∴y随着x的增大而增大，即P=12时，满足条件（Ⅱ）……3分又当x=20时，y=1100502=100。而原数据都在20～100之间，所以新数据都在60～100之间，即满足条件（Ⅰ），综上可知，当P=12时，这种变换满足要求；……6分（2）本题是开放性问题，答案不唯一。若所给出的关系式满足：（a）h≤20；（b）若x=20,100时，y的对应值m，n能落在60～100之间，则这样的关系式都符合要求。如取h=20,y=220axk,……8分∵a＞0，∴当20≤x≤100时，y随着x的增大…10分令x=20,y=60，得k=60①令x=100,y=100，得a×802＋k=100②开始y与x的关系式结束输入x输出y2由①②解得116060ak，∴212060160yx。………14分2、（常州）已知(1)Am，与(233)Bm，是反比例函数kyx图象上的两个点．（1）求k的值；（2）若点(10)C，，则在反比例函数kyx图象上是否存在点D，使得以ABCD，，，四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由(1)2(33)mm，得23m，因此23k．······2分（2）如图1，作BEx轴，E为垂足，则3CE，3BE，23BC，因此30BCE∠．由于点C与点A的横坐标相同，因此CAx轴，从而120ACB∠．当AC为底时，由于过点B且平行于AC的直线与双曲线只有一个公共点B，故不符题意．······························3分当BC为底时，过点A作BC的平行线，交双曲线于点D，过点AD，分别作x轴，y轴的平行线，交于点F．由于30DAF∠，设11(0)DFmm，则13AFm，12ADm，由点(123)A，，得点11(1323)Dmm，．因此11(13)(23)23mm，BCxy1111O3解之得1733m（10m舍去），因此点363D，．此时1433AD，与BC的长度不等，故四边形ADBC是梯形．······5分如图2，当AB为底时，过点C作AB的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为D．由于ACBC，因此30CAB∠，从而150ACD∠．作DHx轴，H为垂足，则60DCH∠，设22(0)CHmm，则23DHm，22CDm由点(10)C，，得点22(13)Dmm，，因此22(1)323mm．解之得22m（21m舍去），因此点(123)D，．此时4CD，与AB的长度不相等，故四边形ABDC是梯形．·········7分如图3，当过点C作AB的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为D时，同理可得，点(23)D，，四边形ABCD是梯形．··············9分综上所述，函数23yx图象上存在点D，使得以ABCD，，，四点为顶点的四边形为梯形，点D的坐图1ABCxyOFDE图2ABCxyODH4标为：363D，或(123)D，或(23)D，．···············10分3、（福建龙岩）如图，抛物线254yaxax经过ABC△的三个顶点，已知BCx∥轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且ACBC．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出ABC，，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在PAB△是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．解：（1）抛物线的对称轴5522axa………2分（2）(30)A，(54)B，(04)C，…………5分把点A坐标代入254yaxax中，解得16a………6分215466yxx…………………………………………7分图3ABCxyODACByx0115（3）存在符合条件的点P共有3个．以下分三类情形探索．设抛物线对称轴与x轴交于N，与CB交于M．过点B作BQx轴于Q，易得4BQ，8AQ，5.5AN，52BM①········································································································以AB为腰且顶角为角A的PAB△有1个：1PAB△．222228480ABAQBQ·················8分在1RtANP△中，222221119980(5.5)2PNAPANABAN1519922P，·························9分②以AB为腰且顶角为角B的PAB△有1个：2PAB△．在2RtBMP△中，222222252958042MPBPBMABBM10分25829522P，·······················11分③以AB为底，顶角为角P的PAB△有1个，即3PAB△．画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于3P，此时平分线必过等腰ABC△的顶点C．过点3P作3PK垂直y轴，垂足为K，显然3RtRtPCKBAQ△∽△．312PKBQCKAQ．Ax011Ｑ2P1P3PＮＭＫy632.5PK5CK于是1OK···············13分3(2.51)P，··························14分注：第（3）小题中，只写出点P的坐标，无任何说明者不得分．4、（福州）如图12，已知直线12yx与双曲线(0)kykx交于AB，两点，且点A的横坐标为4．（1）求k的值；（2）若双曲线(0)kykx上一点C的纵坐标为8，求AOC△的面积；（3）过原点O的另一条直线l交双曲线(0)kykx于PQ，两点（P点在第一象限），若由点ABPQ，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．解：(1)∵点A横坐标为4,∴当x=4时，y=2.∴点A的坐标为（4，2）.∵点A是直线与双曲线（k0）的交点,∴k=4×2=8.(2)解法一：如图12-1，∵点C在双曲线上，当y=8时，x=1∴点C的坐标为(1,8).过点A、C分别做x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON.S矩形ONDM=32，S△ONC=4，S△CDA=9，S△OAM=4.S△AOC=S矩形ONDM-S△ONC-S△CDA-S△OAM=32-4-9-4=15.解法二：如图12-2，过点C、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F，图12OxAyBxy21xy87∵点C在双曲线8yx上，当y=8时，x=1.∴点C的坐标为(1,8).∵点C、A都在双曲线8yx上,∴S△COE=S△AOF=4。∴S△COE+S梯形CEFA=S△COA+S△AOF.∴S△COA=S梯形CEFA.∵S梯形CEFA=12×（2+8）×3=15,∴S△COA=15.（3）∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形,∴OP=OQ，OA=OB.∴四边形APBQ是平行四边形.∴S△POA=S平行四边形APBQ=×24=6.设点P的横坐标为m（m0且4m）,得P(m,).过点P、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F，∵点P、A在双曲线上，∴S△POE=S△AOF=4.若0＜m＜4，如图12-3，∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF,∴S梯形PEFA=S△POA=6.4141m88∴18(2)(4)62mm.解得m=2，m=-8(舍去).∴P（2，4）.若m＞4，如图12-4，∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE,∴S梯形PEFA=S△POA=6.∴18(2)(4)62mm，解得m=8，m=-2(舍去).∴P（8，1）.∴点P的坐标是P（2，4）或P（8，1）.5、（甘肃陇南）如图，抛物线212yxmxn交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点P是它的顶点，点A的横坐标是3，点B的横坐标是1．(1)求m、n的值；(2）求直线PC的解析式；(3）请探究以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC的位置关系，并说明理由．(参考数：21.41，31.73，52.24)解：(1)由已知条件可知：抛物线212yxmxn经过A(-3，0)、B(1，0)两点．∴903,210.2mnmn……………………………………2分解得31,2mn．………………………3分9(2)∵21322yxx，∴P(-1，-2)，C3(0,)2．…………………4分设直线PC的解析式是ykxb，则2,3.2kbb解得13,22kb．∴直线PC的解析式是1322yx．…………………………6分说明：只要求对1322kb，，不写最后一步，不扣分．(3)如图，过点A作AE⊥PC，垂足为E．设直线PC与x轴交于点D，则点D的坐标为(3，0)．………………………7分在Rt△OCD中，∵OC=32，3OD，∴2233()3522CD．…………8分∵OA=3，3OD，∴AD=6．…………9分∵∠COD=∠AED=90o，∠CDO公用，∴△COD∽△AED．……………10分∴OCCDAEAD，即335226AE．∴655AE．…………………11分∵652.6882.55，∴以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC相离．…………12分6、（贵阳）如图14，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90的扇形．（1）求这个扇形的面积（结果保留）．（3分）（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由．（4分）（3）当O的半径(0)RR为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．（5分）10解：（1）连接BC，由勾股定理求得：2ABAC················1分213602nRS················2分（2）连接AO并延长，与弧BC和O交于EF，，22EFAFAE························1分弧BC的长：21802nRl······················2分222r圆锥的底面直径为：222r·····················3分2222，不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．··4分（3）由勾股定理求得：2ABACR弧BC的长：21802nRlR·····················1分222rR圆锥的底面直径为：222rR····················2分22(22)EFAFAERRR2222且0RABCO①②③EF112(22)2RR··························3分即无论半径R为何值，2EFr·····················4分不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．7、（