高中数学解三角形最值

三角形中的最值（或范围）问题解三角形问题，可以较好地考察三角函数的诱导公式，恒等变换，边角转化，正弦余弦定理等知识点，是三角，函数，解析几何和不等式的知识的交汇点，在高考中容易出综合题，其中，三角形中的最值问题又是一个重点。其实，这一部分的最值问题解决的方法一般有两种：一是建立目标函数后，利用三角函数的有界性来解决，二是也可以利用重要不等式来解决。类型一：建立目标函数后，利用三角函数有界性来解决例1．在△ABC中，,,abc分别是内角,,ABC的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC.(1)求角A的大小；（2）求sinsinBC的最大值.变式1：已知向量(,)macb，(,)nacba，且0mn，其中,,ABC是△ABC的内角，,,abc分别是角,,ABC的对边.(1)求角C的大小；（2）求sinsinAB的最大值.解：由mn()ac()()0acbba，得a2+b2—c2=ab=2abcosC所以cosC=21，从而C=60故sinsinsinsin(120)OABAA=3sin(60+A)所以当A=30时，sinsinAB的最大值是3变式2．已知半径为R的圆O的内接⊿ABC中，若有2R（sin2A—sin2C）=（2a—b）sinB成立，试求⊿ABC的面积S的最大值。解：根据题意得：2R(224Ra—224Rc)=(2a—b)*Rb2化简可得c2=a2+b2—2ab,由余弦定理可得：C=45,A+B=135S=21absinC=212RsinA*2RsinB*sinC=2sinAsin(135—A)=22R(2sin(2A+45)+1∵0A135∴452A+45315∴当2A+45＝90即A=15时，S取得最大值2212R＋。类型二：利用重要不等式来解决例2（13年重庆中学）在ABC中，角A,B,C的对边分别为cba,,且4,41cosaA.（1）若6cb，且bc，求cb,的值．（2）求ABC的面积的最大值。解（1）由余弦定理Abccbacos2222，∴bcbccb212)(162∴8bc，又∵,6cbbc，解方程组86bccb得4,2cb或2,4cb(舍)．∴4,2cb（2）由余弦定理Abccbacos2222，∴bccb211622∵bccb222∴332bc，又415sinA∴3154sin33221sin21AAbcSABC即cb时三角形最大面积为3154变式3．在⊿ABC中，角A,B,C的对边是a,b,c,⊿ABC的外接圆半径R=3,且BCcoscos＝BCAsinsinsin2—（1）求B和b的值；（2）求⊿ABC面积的最大值解：由已知BCcoscos＝BCAsinsinsin2—，整理可得：sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB即sin(B+C)=2sinAcosB∵A+B+C=π∴sinA=2sinAcosB∵sinA≠0∴cosB=21∴B=60。∵R=3,∴b=2RsinB=23sin60=3,故角B=60,边b=3由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB即9＝a2+c2-2accos60∴9＋ac=a2+c2≥2ac(当且仅当a=b时取等号)即ac=9(当且仅当a=b=3时取等号)∴三角形得面积s=21acsinB≤21*9*sin60=349∴三角形得面积的最大值是349变式4：⊿ABC中，若AB=1,BC=2,则角C的取值范围是答案：解法1.由a=2,c=1,∴a=2c∴2sinA=4sinC∴sinC=21sinA≤21∵0CA∴0C≤30解法2.cosC=abcba2222－＋=bb4142－＋=41(b+b3)≥23,故0C≤30练习：1、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，π3＜C＜π2且ba－b＝sin2CsinA－sin2C。（1）判断△ABC的性状；(2)若|BA＋BC|＝2，求BA·BC的取值范围．解：(1)由ba－b＝sin2CsinA－sin2C及正弦定理得sinB＝sin2C，∴B＝2C，且B＋2C＝π，若B＝2C，π3＜C＜π2，∴23π＜B＜π，B＋C＞π(舍)；∴B＋2C＝π，则A＝C，∴△ABC为等腰三角形．(2)∵|BA＋BC|＝2，∴a2＋c2＋2ac·cosB＝4，∴cosB＝2－a2a2(∵a＝c)，而cosB＝－cos2C，π3＜C＜π2，∴12＜cosB＜1，∴1＜a2＜43，又BA·BC＝accosB＝2－a2，∴BA·BC∈(23，1)．2、在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形解析：∵cos2B2＝a＋c2c，∴cosB＋12＝a＋c2c，∴cosB＝ac，∴a2＋c2－b22ac＝ac，∴a2＋c2－b2＝2a2，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．答案：B3、在ABC中，sin(C-A)=1,sinB=13。（I）求sinA的值；(II)设AC=6，求ABC的面积。解：（I）由sin()1,,CACA知2CA。又,ABC所以2,2AB即2,0.24ABA故213cos2sin,12sin,sin.33ABAA(II)由（I）得：6cos.3A又由正弦定理，得：sin,32,sinsinsinBCACABCACABB所以11sincos32.22ABCSACBCCACBCA4.在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且274sincos222ABC．（Ⅰ）求角C的大小；3（Ⅱ）求sinsinAB的最大值．35.在ABC中，abc、、分别为内角ABC、、的对边，且2sin(2)sin(2)sinaAbcBcbC（Ⅰ）求A的大小；32.（Ⅱ）若sinsin1BC，试判断ABC的形状.等腰三角形6．（2012陕西）在ABC中，角,,ABC所对边长分别为,,abc，若2222abc，则cosC的最小值为（C）A.32B.22C.12D.127.(2014新标1)已知,,abc分别为ABC的三个内角,,ABC的对边，a=2，且(2)(sinsin)()sinbABcbC，则ABC面积的最大值为.【解析】由2a且(2)(sinsin)()sinbABcbC，即()(sinsin)()sinabABcbC，由及正弦定理得：()()()ababcbc∴222bcabc，故2221cos22bcaAbc，∴060A，∴224bcbc224bcbcbc，∴1sin32ABCSbcA，8.（2012安徽文）设ABC的内角,,ABC所对的边为,,abc，且有2sincossincoscossinBAACAC（Ⅰ）求角A的大小；学（II）若2b，1c，D为BC的中点，求AD的长。【答案】（Ⅰ）3；（II）729.(2014新标2文)四边形ABCD的内角A与C互补，2,3,1DACDBCAB.（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积.【答案】（I）060C，7BD。（Ⅱ）2310.（2013湖北）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos23cos()1ABC.（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积53S，5b，求sinsinBC的值.【简解】（Ⅰ）由cos23cos()1ABC，得22cos3cos20AA，解得1cos2A或cos2A（舍去）.因为0πA，所以π3A.（Ⅱ）由1133sin53,2224SbcAbcbc得20bc.又5b，知4c.由余弦定理得2222cos25162021,abcbcA故21a.又由正弦定理得222035sinsinsinsinsin2147bcbcBCAAAaaa.11．(2013江西)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cosC＋(cosA－3sinA)cosB＝0.(1)求角B的大小；(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．【简解】(1)由已知sinAsinB－3sinAcosB＝0，sinB－3cosB＝0，tanB＝3，B＝π3.(2)b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－3a＋c22＝14(a＋c)2＝14，等号可以成立∴b≥12.又a＋cb，∴b1，∴12≤b1.12.（2013四川）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2A－B2cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)＝－35.(1)求cosA的值；(2)若a＝42，b＝5，求向量BA→在BC→方向上的投影．【简解】(1)由2cos2A－B2cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)＝－35，得[cos(A－B)＋1]cosB－sin(A－B)sinB－cosB＝－35，即cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－35.则cos(A－B＋B)＝－35，即cosA＝－35.(2)由cosA＝－35，0Aπ，得sinA＝45，由正弦定理，有asinA＝bsinB，所以，sinB＝bsinAa＝22.由题知ab，则AB，故B＝π4，根据余弦定理，有(42)2＝52＋c2－2×5c×－35，解得c＝1或c＝－7(舍去)．故向量BA→在BC→方向上的投影为|BA→|cosB＝2213.(2013新标2)△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．【简解】(1)sinA＝sinBcosC＋sinCsinB＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC．sinB＝cosB.又B∈(0，π)，所以B＝π4.(2)△ABC的面积S＝12acsinB＝24ac.由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accosπ4.又a2＋c2≥2ac，故ac≤42－2，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为2＋1.14、（2015年新课标2文）△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC.（I）求sinsinBC；（II）若60BAC,求B.1、已知ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ABC的面积为S,且222,tanSabcC则等于（）A．34B．43C．43D．34【答案】C由222Sabc得22222Sababc,即22212sin22abCababc,所以222sin2abCababc,又222sin2sincos1222abcabCabCCabab,所以sincos12CC,即22cossincos222CCC,所以tan22C,即222tan2242tan1231tan2CCC,选C．2、若三角形ABC的内角满足CBAsin2sin2sin，则Ccos的最小值是．【解析】422214322221432)22(2cos2222222222abbaababbaabbabaabcbaC4264222143222abba3、在△ABC中，D为BC边上一点，CAD　BAD,，10103cos,552cos．（1）求BAC的大小；（2）当中点为BCD时，求ADAC的值．解：（1）由已知，55cos1sin2，1010cos1s