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1．填空题⑴函数的单调减少区间__[解答]，令，可得当时，，单调递减.所以的单调递减区间是或.⑵曲线与其在处的切线所围成的部分被轴分成两部分，这两部分面积之比是__[解答]直线方程为，即，两直线的交点可求得，即求解方法一：已知其一根为，设方程为通过比较可得，可解得另外一根为方法二：分解方程有即所以则⑶设在上连续，当＿时，取最小值.[解答]令，则即所以⑷绕旋转所成旋转体体积__[解答]令，则当时，当时，所以⑸求心脏线和直线及围成的图形绕极轴旋转所成旋转体体积__[解答]将极坐标化为直角坐标形式为，则所以2．计算题⑴在直线与抛物线的交点上引抛物线的法线，求由两法线及连接两交点的弦所围成的三角形的面积.[解答]由题意可计算两法线的方程为，即，即两直线的交点为，则⑵过抛物线上的一点作切线，问为何值时所作的切线与抛物线所围成的面积最小.[解答]直线的斜率，则直线方程为，与抛物线相交，即，设方程的两根为且，则，从而又，所以⑶求通过点的直线中使得为最小的直线方程.[解答]设，则则由可得即可得又则当时为最小，此时方程为⑷求函数的最大值与最小值.[解答]令，可得当时，，即在取最小值，此时当时，，即在取最大值此时.⑸求曲线与所围阴影部分面积，并将此面积绕轴旋转所构成的旋转体体积，如图所示.[解答]⑹已知圆，其中，求此圆绕轴旋转所构成的旋转体体积和表面积.[解答]令，如图所示，则⑺设有一薄板其边缘为一抛物线，如图所示，铅直沉入水中，①若顶点恰好在水平面上，试求薄板所受的静压力，将薄板下沉多深，压力加倍？[解答]抛物线方程为，则在水下到这一小块所受的静压力为所以整块薄板所受的静压力为若下沉，此时受到的静压力为要使，解得.②若将薄板倒置使弦恰好在水平面在上，试求薄板所受的静压力，将薄板下沉多深，压力加倍？[解答]建立如图坐标系，则抛物线方程为，则在水下到这一小块所受的静压力为所以整块薄板所受的静压力为若下沉，此时受到的静压力为要使，解得.