高中函数难题选(二)

第1页（共18页）高中函数难题选（二）一．选择题（共5小题）1．若关于x的不等式bxxa43432的解集恰好是[a，]b，则ab的值为()A．5B．4C．83D．1632．设()fx、()gx都是定义在实数集上的函数，定义函数()()fgx，xR，()()(())fgxfgx，若0,0,)(2xxxxxf，0,ln0,)(xxxexgx，则()A．()()()ffxfxB．()()()fgxfxC．()()()gfxgxD．()()()ggxgx3．设实数a使得不等式2232aaxax对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是()A．11[,]33B．11[,]22C．11[,]43D．[3，3]4．设函数22()fxxmxn，22()(2)1gxxmxnm，其中nR，若对任意的n，tR，()ft和()gt至少有一个为非负值，则实数m的最大值是()A．1B．3C．2D．55．已知函数|1|1()xfxe，1132()xfxe，1212()()|()()|()22fxfxfxfxgx，若a，[1b，5]，且当1x，2[xa，]b时，1212()()0gxgxxx恒成立，则ba的最大值为()A．2B．3C．4D．5二．填空题（共9小题）6．已知关于x的方程220(,)xbxcbcR在[1，1]上有实数根，340cb，则b的取值范围是．7．设函数1,)2(1,412)(2xaxxxxxf，若存在互不相等的4个实数1x，2x，3x，4x，第2页（共18页）使得31241234()()()()7fxfxfxfxxxxx，则a的取值范围为．8．设函数3()||fxxaax，aR，若关于x的方程()2fx有且仅有三个不同的实数根，且它们成等差数列，则实数a的取值构成的集合．9．定义域为*{|xxN，121x的函数()fx满足|(1)()|1(1fxfxx，2，11)，且f（1），f（4），(12)f成等比数列，若f（1）1，(12)4f，则满足条件的不同函数的个数为．10．已知函数2()()(0()axbfxaxbc，bR，0)c，2()[()](0)gxmfxnmn，给出下列四个命题：①当0b时，函数()fx在(0,)c上单调递增，在(c，)上单调递减；②函数()fx的图象关于x轴上某点成中心对称；③存在实数p和q，使得qxfp)(对于任意的实数x恒成立；④关于x的方程()0gx的解集可能为{3，1，0，1}．则正确命题的序号为．11．已知二次函数2()2fxxx，若函数2()|()|()22gxfxfxmxm有三个不同的零点，则实数m的取值范围是．12．若为实数，若关于x的方程2221xxx有实数解，则的取值范围是．13．已知函数2()(fxaxbxca，b，)cR，若存在实数[1a，2]，对任意[1x，2]，都有1)(xf，则75bc的最大值是．14．若关于x的不等式0)2)((2bxax在(,)ab上恒成立，则2ab的最小值为．第3页（共18页）三．解答题（共2小题）15．已知函数()(2)||()fxxxaaR（1）当1a时，求函数()fx的单调递增区间；（2）当[2x，2]时，函数()fx的最大值为g（a），求g（a）的表达式．第4页（共18页）16．已知函数2(2)()()xxtfxx为偶函数．（1）求实数t值；（2）记集合{|()Eyyfx，{1x，2，3}}，222551lglglglg，判断与E的关系；（3）当[xa，](0,0)bab时，若函数()fx的值域为5[2a，52]b，求实数a，b的值．第5页（共18页）高中函数难题选（二）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．若关于x的不等式23344axxb剟的解集恰好是[a，]b，则ab的值为()A．5B．4C．83D．163【解答】解：令23()344fxxx．对称轴为2x，若2a…，则a，b是方程()fxx的两个实根，解得43a，4b，矛盾，易错选D；若2b„，则f（a）b，f（b）a，相减得83ab，代入可得43ab，矛盾，易错选C；若2ab，则()fx的顶点在[a，]b上，()1minfx，所以1a„，且f（a）f（b）b，ab，由f（b）b得到23344xxb，解得43b（舍去）或4b，可得4b，由抛物线的对称轴为2x得到0a，所以4ab．【（否则在顶点处不满足())afx„，所以此时()afx„的解集是R．所以()fxb„的解集是[a，]b，所以f（a）f（b）b，由()2fbbb，解得4b，由()42faa解得0a，】故选：B．2．设()fx、()gx都是定义在实数集上的函数，定义函数()()fgx，xR，()()(())fgxfgx，若2,0(),0xxfxxx„，,0(),0xexgxlnxx„，则()A．()()()ffxfxB．()()()fgxfx第6页（共18页）C．()()()gfxgxD．()()()ggxgx【解答】解：对于A，因为2,0(),0xxfxxx„，所以当0x时，(())()ffxfxx；当0x„时，2()0fxx…，特别的，0x时2xx，此时22()fxx，所以2,0()()(),0xxffxfxxx„，故A正确；对于B，由已知得2,0()()(())(),01,1xexfgxfgxlnxxlnxx„„，显然不等于()fx，故B错误；对于C，由已知得2,0()()(())1,0,0lnxxgfxgfxxlnxx，显然不等于()gx，故C错误；对于D，由已知得,1()()(),1xxggxlnlnxx„，显然不等于()gx，故D错误．故选：A．3．设实数a使得不等式2|2||32|xaxaa…对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是()A．11[,]33B．11[,]22C．11[,]43D．[3，3]【解答】解：取kR，令12xka，则原不等式为23|||2|||2kaakaaa…，即234|||1|||||||23akaka…由此易知原不等式等价于34|||1|||23akk„，对任意的kR成立．第7页（共18页）由于543,233414|1|||1,1232353,12kkkkkkkk…„532yk，在43k…时，13y…112yk，在413k„时，1132y„532yk，1k时，12y所以34|1|||23kk的最小值等于13，从而上述不等式等价于1||3a„，即1133a剟．故选：A．4．设函数22()fxxmxn，22()(2)1gxxmxnm，其中nR，若对任意的n，tR，()ft和()gt至少有一个为非负值，则实数m的最大值是()A．1B．3C．2D．5【解答】解：2222()()(2)1()21gtfttmtnmtmtntm，当210tm…，即12mt…时，()()gtft…，而222222(2)()(2)1()124mmgttmtnmtnm，1222mm，22212(2)()()10224minmmmgtnm…恒成立，即2214mn„恒成立，故||1m„；结合选项可知，A正确；故选：A．5．已知函数|1|1()xfxe，1132()xfxe，1212()()|()()|()22fxfxfxfxgx，若a，[1b，5]，且当1x，2[xa，]b时，1212()()0gxgxxx恒成立，则ba的最大值为第8页（共18页）()A．2B．3C．4D．5【解答】解：函数|1|1()xfxe，1132()xfxe，11212113,0,322,03xxexxfxfxfxfxgxex或剟，作出函数图象如图：由图可知，()gx在(,0)单调递减，(0,)单调递增，a，[1b，5]，且当1x、2[xa，]b时，1212()()00gxgxxx恒成立，最大的单调递增区间为[0，5]，即5ba，故选：D．二．填空题（共9小题）6．已知关于x的方程220(,)xbxcbcR在[1，1]上有实数根，043bc剟，则b的取值范围是12b剟．【解答】解：设方程的根为x，则220xbxc，22([1,1])cxbxx，043bc剟，20423([1,1])bxbxx剟，第9页（共18页）223222xxbxx剟，设2([1,3])xtt，则47424tbttt剟，[1t，3]，4()2mintt，7()8maxtt，224b剟，12b剟．故答案为：12b剟．7．设函数2|124|1,1()(2),1xxfxxxax„，若存在互不相等的4个实数1x，2x，3x，4x，使得31241234()()()()7fxfxfxfxxxxx，则a的取值范围为(6,18)．【解答】解：由31241234()()()()7fxfxfxfxxxxx，可得()7fxx有4个不同实根，当1x„时，()|124|17fxxx，解得35x或519x，故当1x时，()7fxx有2个不同实根，设2()()7(2)7(1)gxfxxxxxax，()(31)(3)gxxx，当13x时，()0gx，()gx递减；当3x时，()0gx，()gx递增．则()mingxg（3）18a，又g（1）6a，由180a，且60a，解得618a．即a的范围是(6,18)．故答案为：(6,18)．第10页（共18页）8．设函数3()||fxxaax，aR，若关于x的方程()2fx有且仅有三个不同的实数根，且它们成等差数列，则实数a的取值构成的集合5333{|8aa或9}5．【解答】解：函数32,()3,axxaxfxxxax„，不妨设()2fx的3个根为1x，2x，3x，且123xxx当xa时，()2fx，解得1x，3x；①1a„，21x，33x，15x，由(5)2f，解得95a，满足()2fx在(，]a上有一解．②13a„，()2fx在(，]a上有两个不同的解，不妨设1x，2x，其中33x，所以有1x，2x是322axx的两个解，即1x，2x是2(22)30xax的两个解．得到1222xxa，123xx，又由设()2fx的3个根为1x，2x，3x成差数列，且123xxx，得到2123xx，解得：53338a或53338（舍去）；③3a，()2fx最多只有两个解，不满足题意；综上所述，53338a或95．故答案为：5333{|8aa或9}5．第11页（共18页）9．定义域为*{|xxN，112}x剟的函数()fx满足|(1)()|1(1fxfxx，2，11)，且f（1），f（4），(12)f成等比数列，若f（1）1，(12)4f，则满足条件的不同函数的个数为176．【解答】解：根据题意，若|(1)()|1fxfx，则(1)()1f