角平分线的性质与判定

12.3角平分线的性质福田河中学八年级数学组夏玉焰★什么是角的平分线？怎样画一个角的平分线？BOAC如图，AB＝AD，BC＝DC，沿着AC画一条射线AE，AE就是∠BAC的角平分线，你知道为什么吗？D····CBAE２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．21如何用尺规作角的平分线？AＢＯＭＮＣ作法：１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢＮ于．３．作射线OC．则射线ＯＣ即为所求．探索1•将角AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得到什么结论?OABAOBED角平分线上的点到角的两边的距离相等。在∠AOB的平分线OC上任取一点P，然后，作点P到∠AOB两边的垂线段PD、PE，画一画，量一量，从中你有什么新发现？你能说明其中的道理吗？BOAC·DPE命题：在角平分线上的点到角的两边的距离相等题设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E.求证：PD=PE.AOBPED角平分线的性质定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等用符号语言表示为：AOBPED12∵∠1=∠2PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE.随堂练习BOAC·DPE1.如图，OC是∠AOB的平分线，∵∴PD=PEPD⊥OA，PE⊥OB2.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线交BC于D，BC=15，且CD：DB=1：2，则点D到AB的距离为_________。动脑筋3.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？⑵哪条线段与DE相等？为什么？⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长。EDCBA练一练3在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的长。EDCBA4.△ABC中,∠C=900,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？ABCDE（点D到AB的距离是3）如图，由于点D，于点E，PD=PE，可以得到什么结论？OBPE^PD^OA到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。已知：如图，，，垂足分别是A、B，PD=PE，求证：点P在的角平分线上。AOBOAPD^OBPE^BADOPE到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。已知：如图，，，垂足分别是D、E，PD=PE，求证：点P在的角平分线上。AOBOAPD^OBPE^证明：\90PEOPDO作射线OP\点P在角的平分线上AOB在Rt△PDO和Rt△PEO中，（HL）\BOPAOP（全等三角形的对应角相等）OP=OP（公共边）PD=PE（已知）\PEORtPDORt≌角平分线的判定BADOPE∵OAPD^OBPE^角平分线的判定的应用书写格式：OP是的平分线AOBOAPD^OBPE^PD=PE\（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）∵DEOPAB角平分线的性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角平分线的判定到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。BADOPEC\PD=PEOP是的平分线AOB∵OAPD^OBPE^∵\OP是的平分线AOBPD=PEOAPD^OBPE^用途：证线段相等用途：判定一条射线是角平分线例1.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线。ABCEFD4.已知：如图，∠C=∠C′=90°，AC=AC′.求证（1）∠ABC=∠ABC′；（2）BC=BC′.（要求不用三角形全等的判定）BCAC′5已知：如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于D，BD=CD。求证：AD平分∠BAC。ABCFED课堂练习例已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.•证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F•∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上（已知）•∴PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）•同理PE=PF.•∴PD=PE=PF.•即点P到边AB、BC、CA的距离相等DEFABCPMN练习：如图，三条公路相交，现在要修建一加油站，使加油站到三条公路的距离相等，问加油站该选在什么位置上？拓展与延伸1、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.AAAAAAADNEBFMCA2、已知PA=PB，∠1+∠2=1800，求证：OP平分∠AOBAOBP12EF3已知：如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD和∠C的外角平分线CE相交于点P。求证：点P在∠BAC的平分线上。CABPDE课堂小结1.角平分线的性质定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等2.角平分线的判定定理:到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。3.角平分线的性质定理和角平分线的判定定理是证明角相等、线段相等的新途径.