一元二次方程的几种解法

一元二次方程的几种解法引例剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？解：设这块铁片的宽为xcm，那么它的长为（x+5)cm.根据题意，得x（x+5)=150.去括号，得x2+5x=150.一、一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.1、只含一个未知数的一元方程；2、未知数的最高次数是2的二次方程；3、整式方程.15052xx015052xx7)3(2x0262xx0532xx01212x042x3522x5xx0322yx12322xxx（不是整式方程）（不是整式方程）（不是一元方程）.16126222xxxx合并同类项：去括号：3522x5xx0322yx12322xxx（不是整式方程）（不是整式方程）（不是一元方程）（不是二次方程）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)完全的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,b≠0,c≠0)不完全的一元二次方程ax2+c=0(a≠0,c≠0)ax2+bx=0(a≠0,b≠0)ax2=0(a≠0)（１）化为一般形式后，（２）二次项的系数是否为0是判断一元二次方程的关键.例１、方程是否为一元二次方程？如果不是，说明理由；如果是，指出它的二次项、一次项系数及常数项.82213xxx解：去括号，得3x2-3x=2x+4+8.移项，得3x2-3x-2x-4-8=0.合并同类项，得3x2-5x-12=0.∴原方程是一元二次方程；二次项系数是３，一次项系数是-5，常数项是–12..0232xx.03522xx.2532xx.32312xx（1）（2）（3）（4）答：a=1,b=3,c=-2.答：a=3,b=-5,c=2.答：a=-2,b=-5,c=3..02532xx.056,3234622xxxxx答：a=6,b=1,c=-5.练习：说出下列方程的二次项系数、一次项系数和常数项：例2、已知：关于x的方程(2m-1)x2-(m-1)x=5m是一元二次方程,求：m的取值范围.解：∵原方程是一元二次方程，∴2m-1≠0，∴m≠.21二、一元二次方程的解法形如的一元二次方程的解法：ax2=0(a≠0)ax2=0(a≠0)2x2=0,解：x2=0，∴x=0.形如的一元二次方程的解法：ax2=0(a≠0)5x2=0,解：x2=0，∴x=0.形如的一元二次方程的解法：ax2=0(a≠0)-3x2=0,解：x2=0，∴x=0.形如的一元二次方程的解法：ax2=0(a≠0)ax2=0,解：x2=0，∴x=0.形如的一元二次方程的解法：4x2=36,解：x2=9，∴x=±3.即x1=3,x2=-3.4x2=36,x2=9，4x2-36=0.解：∴x=±3.即x1=3,x2=-3.02cax.2cax.2acx.acx当ac0时，形如（a≠0，c≠0）的一元二次方程的解法：当ac＞0时，此方程无实数解.解法1、直接开平方法如x2=8,2x2=9,-3x2+7=0,……等等.x2=8..22,8xx解：2x2=9..223,223,223,29,29212xxxxx解：-3x2+7=0.解：.321,321,321,37,37,732122xxxxxx.522x.52x.52x.52,5221xx即：将(x-2)看作一个整体,开平方，得:.5222x,2522x解：系数化1，得.5222x.252x,21021x,2522x解：系数化1，得2102x开平方，得解这两个一元一次方程，得.2102x或.21022x解法1：直接开平方法凡形如ax2+c=0(a≠0,ac0)或a(x+p)2+q=0(a≠0,aq0)的一元二次方程都可用直接开平方法解..522x.5442xx.522x.5442xx写成（）2的形式，得.522x.5442xx写成（）2的形式，得.142xx.522x.5442xx写成（）2的形式，得配方：左右两边同时加上一个常数，凑成完全平方，得.41442xx.142xx.522x.5442xx.0142xx写成（）2的形式，得.41442xx.142xx配方：左右两边同时加上一个常数，凑成完全平方，得.522x.5442xx.0142xx写成（）2的形式，得.41442xx.142xx解：移项：将常数项移到等号一边，得配方：左右两边同时加上一个常数，凑成完全平方，得.522x.5442xx.0142xx写成（）2的形式，得.41442xx.142xx解：移项：将常数项移到等号一边，得开平方，得.52x.52,5221xx解这两个方程，得配方：左右两边同时加上一个常数，凑成完全平方，得怎样配方：常数项是一次项系数一半的平方.a2±2ab+b2=(a±b)2..522x.5442xx.0142xx写成（）2的形式，得配方：左右两边同时加上一次项系数一半的平方，得.41442xx.142xx解：移项：将常数项移到等号一边，得开平方，得.52x.52,5221xx解这两个方程，得二次项系数化1：两边同时除以二次项系数，得.031232xx写成（）2的形式，得配方：左右两边同时加上一次项系数一半的平方，得解：移项：将常数项移到等号一边，得开平方，得解这两个方程，得二次项系数化1：两边同时除以二次项系数，得.0762xx练习：.232x.2962xx写成（）2的形式，得配方：左右两边同时加上一次项系数一半的平方，得.97962xx.762xx解：移项：将常数项移到等号一边，得开平方，得.23x.23,2321xx解这两个方程，得.0762xx练习：写成（）2的形式，得配方：左右两边同时加上一次项系数一半的平方，得解：移项：将常数项移到等号一边，得开平方，得解这两个方程，得二次项系数化1：两边同时除以二次项系数，得.7322xx练习：.16241649472x.27232xx写成（）2的形式，得配方：左右两边同时加上一次项系数一半的平方，得.23474727222xx.23272xx解：移项：将常数项移到等号一边，得开平方，得.162547x.3,21.4547,45472121xxxx解这两个方程，得二次项系数化1：两边同时除以二次项系数，得.7322xx练习：解法2：配方法1、将二次项系数化为1：两边同时除以二次项系数；2、移项：将常数项移到等号一边；3、配方：左右两边同时加上一次项系数一半的平方；4、等号左边写成（）2的形式；5、开平方：化成一元一次方程；6、解一元一次方程；配方法的基本步骤：7、写出方程的解.三、练习.___822xxx.___522xxx.____3422xxx.____4322xxx.____22xpxx练习1、填空：（1）（2）（3）（4）（5）.___822xxx.___522xxx.____3422xxx.____4322xxx.____22xpxx164425253294836492p42p练习1、填空：（1）（2）（3）（4）（5）2、用配方法解下列方程：(1)(2)(3)(4).613;065;0472;0462222yyxxttxx(1).0462xx.53,53,53,53,9496,4621222xxxxxxxx解：(2).04722tt.21,4,4947,4947,168147,1649163247,4724727,227,4722121222222tttttttttttt解：(3).0652xx.6,1,2725,2725,44925,425625,256255,65212122222xxxxxxxxxx解：(4).6132yy.3323,3323,3321,3321,341,341,13112,312,016321212222yyyyyyyyyyyy或写成解：四、小结1、一元二次方程的概念；2、两种解法：（1）直接开平方法；（2）配方法.3、转化的数学思想.五、作业.3434;02123;12822;01211.12222yxxy.10064;1733;49172;1651.22222yyxxP15A组用直接开平方法解下列方程：3、用配方法解下列方程：.4136;09925;01584;24103;01242;0861222222xxxxxxxxxxxxB组1、解下列关于x的方程：.0,04;3;002;01122222addcaxbaxaaxaax补充：已知(m-1)x2+mx=x-1是（1）一元二次方程时（2）一元二次方程时，求：m的取值范围.