函数对称性的三类题型

对称性一、有关对称性的常用结论（一）函数图象自身的对称关系（加法）1、轴对称(1))(xf=)(xf函数)(xfy图象关于y轴对称；(2)函数)(xfy图象关于ax对称)()(xafxaf()(2)fxfax()(2)fxfax；（3）若函数)(xfy定义域为R，且满足条件)()(xbfxaf，则函数)(xfy的图象关于直线对称。2、中心对称（1）)(xf=－)(xf函数)(xfy图象关于原点对称；.（2）函数)(xfy图象关于(,0)a对称)()(xafxaf()(2)fxfax)2()(xafxf；（3）函数)(xfy图象关于),(ba成中心对称bxafxaf2)()(bxfxaf2)()2(（4）若函数)(xfy定义域为R，且满足条件cxbfxaf)()(（cba,,为常数），则函数)(xfy的图象关于点对称。（二）两个函数图象之间的对称关系（减法）1.若函数)(xfy定义域为R，则两函数)(xafy与)(xbfy的图象关于直线对称。推论1：函数)(xafy与函数)(xafy的图象关于直线0x对称。推论2：函数)(axfy与函数)(xafy的图象关于直线ax对称。2.若函数)(xfy定义域为R，则两函数)(xafy与)(xbfcy的图象关于点对称。推论：函数)(xafy与函数)(xbfy图象关于点)0,2(ab对称。2abx)2,2(cab2bax)2,2(cba类型一：双对称问题1.设)(xf是定义在R上的偶函数，且)1()1(xfxf，当01x时，xxf21)(，则)6.8(f___________解：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以)(0xfyx是的对称轴；又因为(1)(1)fxfx，所以1x也是()yfx的对称轴，故)(xfy是以2为周期的周期函数，所以3.0)6.0()6.0()6.08()6.8(ffff。2.（2005年广东卷I）设函数)2()2(),()(xfxfxf上满足在，)7()7(xfxf，且在闭区间［0，7］上只有0)3()1(ff。（1）试判断函数)(xfy的奇偶性；非奇非偶函数（2）试求方程0)(xf在闭区间［－2005，2005］上根的个数并证明你的结论。802310,110manamn3.设是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称，则：_____________解：函数的图像既关于原点对称，又关于直线对称，所以周期是2，又，图像关于对称，所以，所以类型二：对称轴和对称中心的判断1.函数)1(xfy为偶函数，则函数)(xf的图像的对称轴方程为1x2.函数)2(xfy为奇函数，则函数)(xfy的图像的对称中心为（-2，0）3.函数y=f(x+1)与函数y=f(3-x)的图象关于__________对称解：由命题1知，两函数图象关于3112x,即关于直线x=1对称。4.函数121xfxx，该函数图象的对称中心是.【分析】本例的函数是等次分式函数，自然想到分离法，化归为反比例函数变换所得.【解法】函数321fxx，该函数可由反比例函数3yx向左平移1个单位，再向下平移2个单位所得.因为反比例函数3yx的对称中心是0,0,O自然也进行相应地平移，所以函数121xfxx图象的对称中心是1,2.类型三：求值1.已知函数f(x)＝x2＋x＋1x2＋1，若f(a)＝23，则f(－a)＝________.2.设函数f(x)＝（x＋1）2＋sinxx2＋1的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．解析：f(x)＝（x＋1）2＋sinxx2＋1＝1＋2x＋sinxx2＋1.设g(x)＝2x＋sinxx2＋1，则g(－x)＝－2x－sinxx2＋1＝－g(x)，所以g(x)是R上的奇函数．所以若g(x)的最大值是W，则g(x)的最小值是－W.所以函数f(x)的最大值是1＋W，最小值是1－W，即M＝1＋W，m＝1－W，所以M＋m＝2.答案：23.311fxx，则43056fffff．解析311fxx是由3yx平移得到的，由于3yx是奇函数，图象关于原点对称，因此fx的对称中心为1,1，22fxfx，所以43056fffff4635021fffffff52111，故答案为11三次函数的图形都是对称图形对于任意三次函数32()(0)fxaxbxcxda，它的图像有唯一的对称中心(,())33bbfaa(2012年四川)设函数cos2xxfx，na是公差为8的等差数列，1255,aaafff则2313aaafA.0B.2116C.218D.21316解析cos2sin,222xxxxfx把奇函数sin2xxhx的图象向右平移2个单位，再向上平移个单位就是xf的图象了，所以cos2sin222xxxxfx的图象关于,2对称.又因为na是公差为8的等差数列，所以2a和4a、1a和5a都关于直线3xa对称，所以22,afa与44,afa、11,afa与55,afa都关于,2对称.又因为已知条件1255,aaafff所以32a，3fa，13284aa，533284aa.所以222231333153132coscos.24416aaaaaaaf